Question

Расстояния от точки внутри треугольника до его вершин равны 3,4,5. Найти стороны, площадь этого треугольника

Answer 1

Пусть треугольник ABC имеет стороны a, b и c.

Дано, что расстояния от точки P внутри треугольника до его вершин равны 3, 4 и 5.

Расстояние от точки P до любой стороны треугольника равно полусумме длин двух отрезков, на которые данная сторона делит треугольник.

Таким образом, расстояние от точки P до стороны AC равно (3+4)/2 = 3.5, а расстояние от точки P до стороны AB равно (3+5)/2 = 4.

Заметим, что точка P разбивает треугольник на три треугольника: PAB, PBC и PAC.

По теореме Пифагора в треугольнике PAB применим три раза к сторонам PA, PB и AB (так как известны длины PA и PB), получим:

PA^2 + PB^2 = AB^2

3^2 + 4^2 = AB^2

9 + 16 = AB^2

25 = AB^2

AB = 5

Аналогично, применяя теорему Пифагора к треугольнику PAC, получим:

PA^2 + PC^2 = AC^2

3^2 + 5^2 = AC^2

9 + 25 = AC^2

34 = AC^2

AC ≈ 5.83

Теперь у нас известны длины сторон AB и AC, а также угол между ними. Используя закон косинусов, мы можем найти длину стороны BC:

BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(∠BAC)

BC^2 = 5^2 + 5.83^2 - 2 * 5 * 5.83 * cos(∠BAC)

BC^2 ≈ 25 + 34 - 58.3 * cos(∠BAC)

BC^2 ≈ 59 - 58.3 * cos(∠BAC)

Известно, что ∠BAC ≈ 180 - ∠ABC - ∠ACB, и мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.

∠BAC ≈ 180 - ∠ABC - ∠ACB

∠BAC ≈ 180 - 90 - 90

∠BAC ≈ 0

cos(0) = 1

Подставим это обратно в уравнение для BC:

BC^2 ≈ 59 - 58.3 * 1

BC^2 ≈ 59 - 58.3

BC^2 ≈ 0.7

BC ≈ 0.84

Таким образом, стороны треугольника ABC равны примерно 5, 5.83 и 0.84.

Для вычисления площади треугольника можно использовать формулу Герона:

S = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

где s = (a + b + c) / 2.

Подставим значения сторон в формулу Герона:

s = (5 + 5.83 + 0.84) / 2 ≈ 5.34

S = sqrt(5.34 * (5.34 - 5) * (5.34 - 5.83) * (5.34 - 0.84))

S ≈ sqrt(5.34 * 0.34 * 0.51 * 4.5)

S ≈ sqrt(4.4147)

S ≈ 2.1

Таким образом, площадь треугольника ABC составляет примерно 2.1.