Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции: y=x²-корень x, xє[1;4]решение​

Answer 1

найдем производную у'=2x-0.5/√х, найдем критич. точки, приравняв

производную нулю.

2x-0.5/√х=0

(4х√х-1)/√х=0⇒16х³=1⇒, х=∛1/16∉[1;4];

находим значение функции у =х² на концах указанного отрезка.

y(1)=1-1=0; наименьшее значение на отрезке [1;4]

y(4)=16-2=14;  - наибольшее значение на отрезке [1;4]

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y=x²-√x на отрезке [1;4] нужно найти ее экстремумы.

Сначала найдем производную функции: y' = 2x - 1/2x^(-1/2)

Теперь найдем точки, где производная равна нулю: 2x - 1/2x^(-1/2) = 0 Умножим обе части уравнения на 2x^(1/2), получим: 4x^(3/2) - 1 = 0 4x^(3/2) = 1 x^(3/2) = 1/4 x = (1/4)^(2/3) x = 1/2

Точка x=1/2 - это кандидат на экстремум функции. Теперь проверим ее на экстремумы с помощью второй производной: y'' = 2 - 1/4x^(-3/2)

Подставим x=1/2 во вторую производную: y''(1/2) = 2 - 1/4*(1/2)^(-3/2) = 2 - 1/2 = 1.5

Так как вторая производная положительна, то точка x=1/2 - точка минимума функции на отрезке [1;4].

Теперь найдем значения функции в концах отрезка: y(1) = 1 - 1 = 0 y(4) = 16 - 2 = 14

Таким образом, наименьшее значение функции равно 0 и достигается при x=1, а наибольшее значение функции равно 14 и достигается при x=4.