Question

7. Найти общее решение уравнения: (1+x²)y-2 xy =1+x²

Answer 1

Ответ:

y=(C+x)(x²+1)

Пошаговое объяснение:

y'-2xy/(1+x²)=1+x²

линейное ДУ

y'-2xy/(1+x²)=0

dy/y=2xdx/(1+x²)

ln|y|=ln|1+x²|+lnC, y=C(1+x²)

частное решение неоднородного ДУ будем искать в виде:

y=C(x)(1+x²)

после подстановки в исходное уравнение, получим

C'(x)(1+x²)+2C(x)x-2xC(x)=1+x²

C'(x)=1, C(x)=x+C

y=(C+x)(x²+1)- общее решение ДУ

Answer 2

Для нахождения общего решения данного уравнения, мы должны выразить y в зависимости от x.

Заметим, что уравнение имеет вид квадратного уравнения относительно переменной y, а переменная x представляет собой коэффициенты при степенях y. Таким образом, мы можем решить данное уравнение с помощью методов решения квадратного уравнения.

Вначале приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

(1+x²)y-2xy = 1+x²

y(1+x²)-2xy = 1+x²

y+x²y-2xy = 1+x²

Теперь сгруппируем переменные с учетом свойств квадратного уравнения:

y(1+x²-2x) = 1+x²

y(x²-2x+1) = 1+x²

Так как (x²-2x+1) является полным квадратом, то можно его факторизовать:

y(x-1)² = 1+x²

Теперь выразим y:

y = (1+x²)/(x-1)²

Таким образом, общее решение уравнения (1+x²)y-2xy = 1+x² записывается в виде y = (1+x²)/(x-1)².