Question

Знайдіть область визначення функції у=х-2/√20-8х-х^2 + √х+6​

Answer 1

Ответ: "х" тиесілі [-6; 2,5)

Пошаговое объяснение:

20-8x квадрат түбірі нөлден үлкен немесе оған тең, бірақ ол бөлгіште болғандықтан (және бөлгіші нөлге тең емес), онда бұл түбір нөлден үлкен;

x + 6 квадрат түбірі нөлден үлкен немесе оған тең

біз мұның бәрін жүйеге жазамыз және бәрі сол жерде шешіледі

Answer 2

Щоб знайти область визначення функції y = (x - 2) / (√(20 - 8x - x^2) + √(x + 6)), спершу розглянемо два підкореневих вирази в чисельнику:

1. √(20 - 8x - x^2) 2. √(x + 6)

Обидва ці вирази повинні бути не менше нуля, оскільки неможливо взяти корінь з від'ємного числа або з числа, яке рівне нулю в знаменнику.

1. Для першого виразу (20 - 8x - x^2), спростимо його:

20 - 8x - x^2 = -x^2 - 8x + 20

Цей вираз є квадратичною функцією, і ми можемо знайти його область визначення, розв'язавши нерівність:

-x^2 - 8x + 20 ≥ 0

Для знаходження області визначення розв'яжемо цю нерівність за допомогою методу зміни знаку:

1. Знайдемо корені квадратного рівняння -x^2 - 8x + 20 = 0. Використовуючи квадратну формулу:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),

де a = -1, b = -8, і c = 20, отримаємо:

x₁ = (-(-8) + √((-8)^2 - 4(-1)(20))) / (2(-1)) = (8 + √(64 + 80)) / 2 = (8 + √144) / 2 = (8 + 12) / 2 = 20 / 2 = 10,

x₂ = (-(-8) - √((-8)^2 - 4(-1)(20))) / (2(-1)) = (8 - √144) / 2 = (8 - 12) / 2 = -4 / 2 = -2.

Таким чином, корені цього квадратного рівняння - це x₁ = 10 і x₂ = -2.

2. Знайдемо знаки на інтервалах між коренями та поза ними. Для цього виберемо тестову точку на кожному інтервалі і обчислимо знак виразу -x^2 - 8x + 20 на цих інтервалах.

a) Інтервал (-∞, -2): Виберемо x = -3.

-(-3)^2 - 8(-3) + 20 = -9 + 24 + 20 = 35 > 0. Значить, на цьому інтервалі вираз -x^2 - 8x + 20 є додатнім.

b) Інтервал (-2, 10): Виберемо x = 0.

-0^2 - 8(0) + 20 = 20 > 0. Значить, на цьому інтервалі вираз -x^2 - 8x + 20 є додатнім.

c) Інтервал (10, +∞): Виберемо x = 11.

-11^2 - 8(11) + 20 = -121 - 88 + 20 = -189 < 0. Значить, на цьому інтервалі вираз -x^2 - 8x + 20 є від'ємним.

Отже, область визначення для першого підкореневого виразу - це інтервал (-∞, -2) об'єднаний з інтервалом (-2, 10).

2. Для другого підкореневого виразу (x + 6), цей вираз повинен бути не менше нуля:

x + 6 ≥ 0

Розв'яжемо цю нерівність:

x ≥ -6

Отже, область визначення для другого підкореневого виразу - це інтервал [-6, +∞).

Тепер об'єднаємо області визначення для обох підкореневих виразів, знаючи, що обидва вони повинні бути більше або дорівнювати нулю:

Область визначення функції y = (x - 2) / (√(20 - 8x - x^2) + √(x + 6)) - це перетин областей визначення обох підкореневих виразів:

(-∞, -2) об'єднаний з (-2, 10) перетин з [-6, +∞).

Отже, область визначення функції y = (x - 2) / (√(20 - 8x - x^2) + √(x + 6)) - це інтервал (-2, 10) перетин з [-6, +∞), тобто вона визначена для всіх x з інтервалу (-2, 10] ∪ [-6, +∞).