Question

Найти точку Q, симметричную точке Р(3;–4; –6) относительно плоскости, проходящей через М1(–6;1; –5), М2(7; –2; –1) и М3(10; –7;1).

Answer 1

Для удобства записи будем считать, что заданы точки плоскости:

A(–6;1; –5), B(7; –2; –1) и C(10; –7;1), и точка S(3;–4; –6).

Плосокость ABC задана точками A(xa, ya, za), B(xb, yb, zb), C(xc, yc, zc).

Координаты точки A:

xa = -6

ya = 1

za = -5.

Координаты точки B:

xb = 7

yb = -2

zb = -1.

Координаты точки C:

xc = 10

yc = -7

zc = 1.

Задана точка S(xs, ys, zs).

Координаты точки S:

xs = 3

ys = -4

zs = -6.

Точка M лежит на плосокости ABC.

Отрезок SM перпендикулярен плосокости ABC.

Точка M является проекцией точки S на плосокость ABC.

Найти координаты точки M(xm, ym, zm) и длину отрезка SM.

Для нахождения координат точки M(xm, ym, zm) составим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными, исходя из следующих трёх условий.

Точка M лежит в плоскости ABC;

Отрезок SM перпендикулярен прямой AB;

Отрезок SM перпендикулярен прямой AC.

Это равносильно трём условиям:

Смешанное произведение векторов AM, AB, AC равно нулю: AM •[ABxAC] = 0

Скалярное произведение векторов SM и AB равно нулю: SM • AB = 0

Скалярное произведение векторов SM и AC равно нулю: SM • AС = 0

Решая эту систему, найдём координаты точки M(xm, ym, zm).

Плоскость ABC задана тремя точками:

A(-6, 1, -5)

B(7, -2, -1)

С(10, -7, 1)

Задана точка S(3, -4, -6)

Проекция точки S на плоскость ABC имеет координаты M(xm, ym, zm)

xm = 7056 / 3528 = 2.

ym = -10584 / 3528 = -3.

zm = -7056 / 3528 = -2.

|SM| = sqrt(224042112) / 3528 = 4,24264.

Это расстояние было найдено по формуле:

|SM| = sqrt((xm-xs)*(xm-xs)+(ym-ys)*(ym-ys)+(zm-zs)*(zm-zs)).

Координаты векторов AB, AC, AS равны:

AB = (13, -3, 4).

AC = (16, -8, 6).

AS = (9, -5, -1).

Координаты векторного произведения AB и AC

[ABxAC] = (14, -14, -56).

Модуль векторного произведения AB и AC

|[ABxAC]| = sqrt(3528) = 59,39697.

Модуль смешанного произведения AS, AB, AC

|AS[ABxAC]| = 252.

Расстояние от точки S до плоскости ABC вычисляется по формуле

|SM| = |AS[ABxAC]| / |[ABxAC]|.

|SM| = 252 / sqrt(3528) = 3 * sqrt(2) = 4,24264.

Найдены координаты проекции точки S на плоскость ABC:

M(2, -3, -2).

Точка Р(3;–4; –6).

Теперь находим симметричную точку Q по фоормуле Q = 2M - P.

Ответ: Q(1; -2; 2)

Answer 2

Для нахождения точки Q, симметричной точке P(3, -4, -6) относительно плоскости, проходящей через точки M1(-6, 1, -5), M2(7, -2, -1) и M3(10, -7, 1), мы можем использовать следующий подход:

1. Найдем нормальный вектор плоскости. Для этого возьмем два вектора, образованных из трех точек на плоскости. Вектор AB можно получить как разность координат точек A и B. Таким образом, вектор AB = M2 - M1 = (7, -2, -1) - (-6, 1, -5) = (13, -3, 4). Аналогично, вектор AC = M3 - M1 = (10, -7, 1) - (-6, 1, -5) = (16, -8, 6). 2. Вычислим нормальный вектор плоскости, найдя векторное произведение векторов AB и AC. Нормальный вектор плоскости будет перпендикулярен плоскости и будет указывать в направлении от плоскости. AB x AC = (13, -3, 4) x (16, -8, 6) = (-12, 38, 280) Обратите внимание, что порядок векторного произведения важен, поэтому AB x AC ≠ AC x AB. 3. Теперь у нас есть нормальный вектор плоскости, и мы можем записать