Question

Три студента пишут контрольную работу из 4-х задач. Первый студент решает любую задачу с вероятностью 3/4, второй — с вероятностью 1/2, третий — 1/4. Преподаватель получил анонимную работу с тремя решенными задачами. Кому скорее всего принадлежит работа и с какой вероятностью?

Answer 1

Ответ:

Первый студент с вероятностью 27/46

Пошаговое объяснение:

Формула Байеса:

$P(A|B)={{P(B|A)*P(A)}\over{P(B)}}$

Возьмём за событие B "ровно 3 задачи решены верно", за событие $A_N$ будем брать "решения студента N" перебирая N от 1 до 3.

Будем считать, что "анонимная работа" выбиралась из 3 равновероятно, тогда

$P(A_N)=1/3$

(для всех N)

$P(B|A_1)=3/4 * 3/4 * 3/4 * 1/4 * 4 = 27/64\\P(B|A_2)=1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 4 = 1/4 = 16/64\\P(B|A_3)=1/4 * 1/4 * 1/4 * 3/4 * 4 = 3/64$

(рассуждения - должно быть решено 3 правильно, 1 неправильно. Вариантов из 4 задач пометить 3 как "правильные" и 1 как "неправильную" ровно 4)

Ответ "какая работа" виден уже здесь - P(B) для всех 3 студентов равен, P(A) тоже, оставшийся множитель самый большой у студента 1. Осталось посчитать вероятность P(B)

$P(B)=P(B|A_1)*P(A_1) + P(B|A_2)*P(A_2) + P(B|A_3)*P(A_3) = \\={{27 + 16 + 3}\over{64 * 3}} = {{46}\over{64 * 3}}$

Подставляем всё в формулу:

$P(A_1|B)={(27 / 64) * (1/3)\over 46 / (64 * 3)}=27/46$

Answer 2

В данной задаче требуется найти вероятность того, что работа принадлежит каждому из трех студентов.

Вероятность того, что работа принадлежит первому студенту, можно рассчитать как произведение вероятностей выбора трех задач, которые были решены этим студентом, и вероятности того, что задача решена этим студентом: P(работа принадлежит первому студенту) = (3/4) * (1/2) * (1/4) = 3/32

Аналогично, вероятность того, что работа принадлежит второму студенту: P(работа принадлежит второму студенту) = (1/4) * (1/2) * (3/4) = 3/32

И вероятность того, что работа принадлежит третьему студенту: P(работа принадлежит третьему студенту) = (1/4) * (1/2) * (1/4) = 1/32

Теперь можно сравнить полученные вероятности. Вероятность того, что работа принадлежит первому или второму студенту равна: P(работа принадлежит первому или второму студенту) = P(работа принадлежит первому студенту) + P(работа принадлежит второму студенту) = (3/32) + (3/32) = 6/32 = 3/16

Вероятность того, что работа принадлежит третьему студенту, можно найти отнимая вероятность, что работа принадлежит первому или второму студенту от 1: P(работа принадлежит третьему студенту) = 1 - P(работа принадлежит первому или второму студенту) = 1 - (3/16) = 13/16

Таким образом, работа скорее всего принадлежит третьему студенту с вероятностью 13/16.