Question

Срочно!!! 50 баллов, с объяснением На товарищеском турнире школьников по шахматам каждый школьник сыграл с каждым другим не более одной партии, кроме того, каждый из них сыграл с приглашённым гроссмейстером не более одной партии. Всего было сыграно 40 партий. Какое наименьшее количество школьников могло участвовать в этом турнире?

Answer 1

Ответ:

Не менее 9-ти школьников

Пошаговое объяснение:

Общее количество партий равно

$N = N_1 + N_2 = 40$

где

$N_1$ - число партий между школьниками

$N_2$ - число партий с гроссмейстером.

Пусть, всего х школьников

Тогда максимальное количество партий между школьниками равно:

$N_1 = \frac{x \cdot(x - 1)}{2}$

т.к. каждый (из х школьников)

сыграл с каждым, исключая себя, т.е. с х-1 оппонентов

максимум 1 партию - (играют двое, поэтому делим на 2)

Тогда максимальное количество партий с гроссом равно:

$N_2 = x$

т.к. гроссмейстер (1 шт.)

сыграл с каждым (из х школьников)

по 1 партии (оппоненты берутся из разных групп, на 2 делить не надо)

Отсюда:

$N_1 + N_2 = 40 \\ \frac{x(x - 1)}{2} + x = 40 \\ x(x - 1) + 2x = 80 \\ {x}^{2} - x + 2x - 80 = 0 \\ {x}^{2} + x - 80 = 0 \\ D = {1}^{2} - 4 \times ( - 80) = 321 \\ x = \frac{ - 1 \pm \sqrt{321} }{2} \\ x = \frac{\sqrt{321} - 1}{2}$

Отрицательный х не рассматриваем - т.к. учеников строго больше нуля

Также учеников строго целое число.

Поэтому оценим приближенно х, ближайшее большее целое и будет ответом:

$x = \frac{\sqrt{321} - 1}{2} \\ \sqrt{289} < \sqrt{321} < \sqrt{324} \\ 17$

Меньшее число х= 8 из неравенства не подойдет (партий будет меньше 40)

А вот х = 9 (школьников) - и будет решением задачи.

Ответ: минимум 9 школьников.

Answer 2

Minimum number of students in the tournament

To determine the minimum number of students that could have participated in the tournament, we need to consider the number of games played and the restrictions on each student's participation.

Given that a total of 40 games were played, we can break down the games into two categories: 1. Games between the students: Each student played with every other student, but not more than one game. 2. Games between the students and the invited grandmaster: Each student played with the grandmaster, but not more than one game.

Let's assume that there were n students participating in the tournament.

1. Games between the students: - Each student played with every other student, but not more than one game. - The number of games between the students can be calculated using the formula for the sum of the first n natural numbers: n * (n-1) / 2. - So, the number of games between the students is n * (n-1) / 2.

2. Games between the students and the grandmaster: - Each student played with the grandmaster, but not more than one game. - Since there were n students, there were also n games between the students and the grandmaster.

To find the minimum number of students, we need to find a value of n that satisfies the equation:

n * (n-1) / 2 + n = 40

Simplifying the equation, we get:

n^2 - n + 2n = 80

n^2 + n - 80 = 0

Solving this quadratic equation, we find that n = 8 or n = -9. Since the number of students cannot be negative, the minimum number of students that could have participated in the tournament is 8.

Therefore, the minimum number of students that could have participated in this tournament is 8.