Question

Исследуйте функцию x^2/x-1.​

Answer 1

Если на чётность, то вот:

ƒ (x) = x²/(x - 1)

• Определяем область определения функции:

x - 1 ≠ 0

x ≠ 1

D ( ƒ ) = ℝ | x ≠ 1

• Сразу из области определения видно, что функция ни чётная, ни нечётная (или ещё говорят: «функция общего вида»), так как точка из области определения на координатной плоскости не будет симметрична относительно начала координат, но даже не зная этого метода, можно убедиться в этом самостоятельно:

• Давайте в этом убедимся:

ƒ (-x) = (-x)²/ (-x - 1) = x²/(-x - 1)

ƒ (-x) ≠ ƒ (x)

ƒ (-x) ≠ - ƒ (x)

Что ещё раз подтверждает, что функция ни чётная, ни нечётная «общего вида»

Answer 2

Для исследования функции f(x) = x^2 / (x - 1) на её область определения, асимптоты, монотонность, экстремумы и поведение при x -> ±∞, выполним следующие шаги:

1. Область определения: Функция f(x) определена для всех x, кроме x = 1, так как знаменатель не должен быть равен нулю. Таким образом, область определения функции f(x) - это множество всех вещественных чисел x, за исключением x = 1.

2. Асимптоты: a. Вертикальная асимптота: Функция имеет вертикальную асимптоту при x = 1 из-за нулевого значения знаменателя (x - 1) в этой точке. b. Горизонтальная асимптота: Давайте исследуем предел функции f(x) при x, стремящемся к плюс или минус бесконечности. Предел f(x) при x -> ∞: lim (x -> ∞) (x^2 / (x - 1)) = lim (x -> ∞) (x^2 / x) = lim (x -> ∞) x = +∞

Предел f(x) при x -> -∞: lim (x -> -∞) (x^2 / (x - 1)) = lim (x -> -∞) (x^2 / x) = lim (x -> -∞) x = -∞

Таким образом, у функции есть горизонтальные асимптоты y = +∞ и y = -∞ при x -> ±∞.

3. Монотонность: Для анализа монотонности функции, найдем её производную. Для этого используем правило дифференцирования частного:

f'(x) = [(x^2)' * (x - 1) - x^2 * (x - 1)'] / (x - 1)^2 = [2x(x - 1) - x^2] / (x - 1)^2 = [2x^2 - 2x - x^2] / (x - 1)^2 = (x^2 - 2x) / (x - 1)^2

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

(x^2 - 2x) / (x - 1)^2 = 0 x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0

Таким образом, производная равна нулю при x = 0 и x = 2. Проведем знаковый анализ производной:

- В интервале (-∞, 0) производная f'(x) отрицательна. - В интервале (0, 1) производная f'(x) положительна. - В интервале (1, 2) производная f'(x) отрицательна. - В интервале (2, +∞) производная f'(x) положительна.

Таким образом, функция убывает на интервалах (-∞, 0) и (1, 2) и возрастает на интервалах (0, 1) и (2, +∞).

4. Экстремумы: Найденные нами точки, где производная равна нулю (x = 0 и x = 2), являются кандидатами на экстремумы. Чтобы определить их тип, нужно проанализировать знак второй производной.

f''(x) = [(x^2 - 2x)' * (x - 1)^2 - (x^2 - 2x) * (x - 1)^2'] / (x - 1)^4 = [(2x - 2) * (x - 1)^2 - (x^2 - 2x) * 2(x - 1)] / (x - 1)^4 = [(2x - 2)(x - 1)^2 - 2(x^3 - 2x^2)] / (x - 1)^4 = [(2x - 2)(x - 1)^2 - 2x^3 + 4x^2] / (x - 1)^4 = [2(x - 1)^3 - 2x^3 + 4x^2] / (x - 1)^4

Для x = 0: f''(0) = [2(0 - 1)^3 - 2(0)^3 + 4(0)^2] / (0 - 1)^4 = [2(-1) - 0] / 1 = -2

Для x = 2: f''(2) = [2(2 - 1)^3 - 2(2)^3 + 4(2)^2] / (2 - 1)^4 = [2(1) - 16 + 16] / 1 = 2

Таким образом, при x = 0 у функции есть локальный максимум, а при x = 2 - локальный минимум.

5. Поведение при x -> ±∞: Мы уже рассмотрели горизонтальные асимптоты. При x -> ±∞ функция стремится к плюс или минус бесконечности, как было показано ранее.

Итак, после проведенного анализа, мы получили следующие характеристики функции f(x) = x^2 / (x - 1):

- Область определения: x ∈ R, x ≠ 1. - Вертикальная асимптота: x