Question

64 балла!!! Очень срочно, помогите, чем сможете, пожалуйста: задание 1: исследуйте квадратичную функцию и постройте её график f(x) = x^2 - x - 2 задание 2: исследуйте функцию и постройте её график f(x) = x^2-2x+1/1-x

Answer 1

(1)
у(х)=х²-х-2=(х-2)(х+1)
это парабола, ветви вверх
нули функции
х1=2, х2=-1
график пересекает ось ОУ
при х=0
у(0)=-2

у'(х)=2х-1=0 => хверш=0,5
уверш=у(0,5)=-1,5•1,5=-2,25

область определения
$D_{y(x)}=(-∞;+∞)$
область значений функции
$E_{y(x)}= (-2,25; +∞)$

функция возрастает при х>0,5
убывает при х<0,5

функция общего вида
не является периодической

график на фото

(2)
$y = \frac{ {x}^{2} - 2x + 1}{1 - x} = \\ = \frac{(1 - x) ^{2} }{1 - x} = \\ = \left \{ {{1 - x \: \: (x≠1)} \atop { - \: \: \: (x = 1)}} \right.$
y=1-x прямая
убывает на области определения

область определения функции
$D_{y(x)}=(-∞;1)∪(1;+∞)$
в точке х=1 функция не определена


область значений функции
$E_{y(x)}=(-∞;0)∪(0;+∞)$

функция общего вида
не является периодической

Answer 2

Задание 1: Дана квадратичная функция f(x) = x^2 - x - 2.

1) Найдем вершину параболы. Для этого воспользуемся формулой x = -b/2a. В данном случае a = 1, b = -1, поэтому x = -(-1)/(2*1) = 1/2. Для нахождения значения функции в данной точке подставим x = 1/2 в исходную функцию: f(1/2) = (1/2)^2 - 1/2 - 2 = 1/4 - 3/2 = -5/4. Таким образом, вершина параболы находится в точке (1/2, -5/4).

2) Определим направление выпуклости параболы. Так как коэффициент при x^2 равен 1 и положительный, парабола открывается вверх.

3) Найдем ось симметрии параболы. Ось симметрии проходит через вершину параболы. В данном случае осью симметрии является прямая x = 1/2.

4) Определим пересечение параболы с осями координат. - При x = 0 имеем f(0) = (0)^2 - 0 - 2 = -2. То есть парабола пересекает ось ординат в точке (0, -2). - При y = 0 получаем x^2 - x - 2 = 0. Решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена или графически. Получим два корня: x1 = -1 и x2 = 2. Значит, парабола пересекает ось абсцисс в точках (-1, 0) и (2, 0).

5) Построим график параболы:

| | * | * | * | * | * | * | * | * | * ---------- Вершина параболы находится в точке (1/2, -5/4). Ось симметрии параболы - вертикальная прямая x = 1/2. Парабола открыта вверх и пересекает ось ординат в точке (0, -2), а ось абсцисс в точках (-1, 0) и (2, 0).

Задание 2: Дана функция f(x) = x^2 - 2x + 1 / (1-x).

1) Найдем область определения функции. Для этого исключим значения x, при которых знаменатель равен нулю. В данном случае знаменатель (1-x) равен нулю при x = 1. Значит, область определения функции f(x) - это множество всех действительных чисел, кроме x = 1.

2) Исследуем поведение функции при x -> +∞ и x -> -∞. Для этого рассмотрим пределы функции при стремлении x к бесконечности и минус бесконечности. При x -> +∞ второе слагаемое в функции (2x) будет стремиться к бесконечности. Знаменатель (1-x) будет стремиться к -∞. Таким образом, пределы функции при x -> +∞ и x -> -∞ не существуют.

3) Найдем вертикальные асимптоты функции. Для этого рассмотрим пределы функции при стремлении x к особым точкам, в данном случае к x = 1. При x -> 1 слагаемые x^2 - 2x + 1 будут стремиться к 0, а знаменатель (1-x) будет стремиться к 0. Таким образом, получаем вертикальную асимптоту x = 1.

4) Определим пересечение графика функции с осями координат. - При x = 0 имеем f(0) = (0)^2 - 2(0) + 1 / (1-0) = 1. - При y = 0 получаем x^2 - 2x + 1 / (1-x) = 0. Решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена или графически. Получим один корень: x = 1. Значит, функция пересекает ось абсцисс в точке (1, 0).

5) Построим график функции:

| | * | * | - | * | | | * | * ----------

Область определения функции - все значения x, кроме x = 1. Нет пределов функции при x -> +∞ и x -> -∞. Вертикальная асимптота x = 1. Функция пересекает ось ординат в точке (0, 1) и ось абсцисс в точке (1, 0).

Таким образом, мы исследовали и построили графики двух заданных функций.