Question

На уроке математики каждому из пяти гномов нужно найти одно двузначное число, при прибавлении к которому числа 27, получалось бы число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Могут ли все числа, найденные гномами, оказаться различными

Answer 1

Допусти гном загадал число, первая цифра которого = x, а вторая y

Тогда само число будет равняться x*10 + y, а если поменять местами цифры, то получиться y*10 + x

Составим уравнение :

10x + y + 27 = 10y + x

9y - 9x = 27

9(x - y) = 27

x - y = 3

y = x + 3

Получается , что под наше условие подходят все числа, первая цифра которого на 3 меньше, чем вторая, найдем все эти двухзначные числа, подставляя место х все цифры, пока наше число не станет трехзначным(х или y > 9) :

x = 1, y = 4, число 14

x = 2, y = 5, число 25

x = 3, y = 6, число 36

x = 4, y = 7, число 47

x = 5, y = 8, число 58

x = 6, y = 9, число 69

Значит всего таких двухзначный чисел 6, а гномов 5, значит все найденные числа гномами различные!

Answer 2

Давайте рассмотрим все возможные двузначные числа, прибавление к которым числа 27 даёт число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Пусть исходное число будет записано как AB, где A и B - цифры этого числа.

Согласно условию задачи, прибавление числа 27 к числу AB даёт другое двузначное число.

Мы можем записать это как AB + 27 = BA, где BA - число, записанное в обратном порядке.

Определим AB и BA по отдельности:

AB = 10A + B BA = 10B + A

Теперь подставим эти значения в уравнение AB + 27 = BA:

10A + B + 27 = 10B + A

Упрощаем уравнение:

9A - 9B = -27 A - B = -3

Из этого уравнения следует, что разность между A и B должна быть равна -3.

Теперь рассмотрим все возможные значения для A и B, при которых A - B = -3:

A = 1, B = 4 A = 2, B = 5 A = 3, B = 6 A = 4, B = 7 A = 5, B = 8 A = 6, B = 9

Подставим эти значения обратно в исходное уравнение AB + 27 = BA:

14 + 27 = 41 (не подходит) 25 + 27 = 52 (не подходит) 36 + 27 = 63 (подходит) 47 + 27 = 74 (подходит) 58 + 27 = 85 (подходит) 69 + 27 = 96 (подходит)

Таким образом, гномы могут найти следующие числа: 36, 47, 58, 69, 85 и 96. Все найденные числа могут быть различными, если каждому гному достанется своё число.