Question

Обчислити площу фігури, обмежену наступними лініями: y=cosx, y=sinx, x=pi/4, x=pi/2

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$S=\int\limits^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4} {\sin x} \, dx -\int\limits^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4} {\cos x} \, dx \\1)\int\limits^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4} {\sin x} \, dx =-\cos x\,|^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\2)\int\limits^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4} {\cos x} \, dx=\sin x|^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4}=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\3)\,S=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}-1$

Задание выполнено!

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, мы можем использовать интеграл.

Сначала найдем точки пересечения линий y = cos(x) и y = sin(x). Для этого приравняем уравнения:

cos(x) = sin(x)

Разделим обе части на cos(x):

1 = tan(x)

x = arctan(1) = pi/4

Таким образом, точка пересечения находится в (pi/4, cos(pi/4) = sin(pi/4) = sqrt(2)/2).

Теперь мы можем записать интеграл для вычисления площади фигуры:

S = ∫[pi/4, pi/2] (sin(x) - cos(x)) dx

Раскроем интеграл:

S = ∫[pi/4, pi/2] sin(x) dx - ∫[pi/4, pi/2] cos(x) dx

S = [-cos(x)] [pi/4, pi/2] - [-sin(x)] [pi/4, pi/2]

Вычислим значения в точках:

S = [-cos(pi/2) + cos(pi/4)] - [-sin(pi/2) + sin(pi/4)]

S = [0 - sqrt(2)/2] - [-1 + sqrt(2)/2]

S = sqrt(2)/2 + 1 - sqrt(2)/2

S = 1

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = cos(x), y = sin(x), x = pi/4, x = pi/2, равна 1.