Question

Определить внутренний угол при вершине А треугольника АВС, если А(1,2,1) В(3,-1,7) С(7,4,-2)

Answer 1

Ответ:

$arccos(-\frac{12}{49} )$

Пошаговое объяснение:

Составим вектора имеющие начало в точке A, а конец в B или C:

AB = {2, -3, 6}

AC = {6, 2, -3}

Скалярное произведение:

AB * AC = 12 - 6 - 18 = -12

AB*AC ≠ 0, значит вектора не перпендикулярны

Найдем длины векторов:

|AB| = $\sqrt{4 + 9 + 36} = 7$

|AC| = $\sqrt{36 + 4 + 9} = 7$

Пусть $\alpha$ - искомый угол (он же угол между векторами АВ и АС)

Приравняем скалярное произведение через длины к скалярному произведению через координаты:

|AB| * |AC| * cos $\alpha$ = -12

Выразим косинус угла $\alpha$

cos $\alpha$ = $\frac{-12}{|AB| * |AC|}$ = $-\frac{12}{49}$

Выразим $\alpha$ через обратную тригонометрическую функцию

$\alpha$ = $arccos(-\frac{12}{49} )$

Примечание:

Найти этот арккосинус можно с помощью калькулятора, окажется что наш искомый угол равен примерно 104°. Также это проверяется построением треугольника в системе координат.

Answer 2

Для определения внутреннего угла при вершине А треугольника АВС, мы можем использовать формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами.

Для начала, нам понадобятся два вектора, определенные как разность координат точек. Вектор AB будет равен (3-1, -1-2, 7-1) = (2, -3, 6), а вектор AC будет равен (7-1, 4-2, -2-1) = (6, 2, -3).

Затем мы найдем скалярное произведение этих двух векторов, используя формулу: AB · AC = |AB| * |AC| * cos(угол). Здесь |AB| обозначает длину вектора AB, а cos(угол) - косинус угла между AB и AC.

Скалярное произведение AB и AC будет равно: (2*6) + (-3*2) + (6*-3) = 12 - 6 - 18 = -12.

Длина вектора AB: |AB| = sqrt(2^2 + (-3)^2 + 6^2) = sqrt(49) = 7. Длина вектора AC: |AC| = sqrt(6^2 + 2^2 + (-3)^2) = sqrt(49) = 7.

Подставляя вычисленные значения в формулу, получаем: -12 = 7*7*cos(угол). Отсюда можно найти значение cos(угол): cos(угол) = -12 / (7*7) = -12 / 49.

Для определения внутреннего угла при вершине А треугольника АВС, нужно найти обратный косинус от полученного значения cos(угол). Обозначим этот угол как θ: θ = arccos(-12 / 49).

Вычисляя значение arccos, получаем: θ ≈ 126.37°.

Итак, внутренний угол при вершине А треугольника АВС составляет приблизительно 126.37 градусов.