Question

Найти полный дифференциал функции: а) z=arcsin*(y/x^2); б) z=x^y+x

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Для нахождения полного дифференциала функции вида z = f(x, y), где x и y - независимые переменные, мы будем использовать правила дифференцирования. Полный дифференциал функции z можно записать в следующем виде:

dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy

где (∂z/∂x) и (∂z/∂y) - частные производные функции z по переменным x и y соответственно. Давайте найдем полные дифференциалы для данных функций:

а) z = arcsin(y / x^2):

Для начала найдем частные производные (∂z/∂x) и (∂z/∂y).

∂z/∂x: Для этой частной производной используем правило цепочки и правило дифференцирования обратной функции. Первым шагом найдем производную arcsin(u), где u = y / x^2, относительно u:

d(arcsin(u))/du = 1 / sqrt(1 - u^2)

Затем найдем производную u = y / x^2 относительно x:

∂(y / x^2)/∂x = -2y / x^3

Теперь используем правило цепочки:

∂z/∂x = (1 / sqrt(1 - (y / x^2)^2)) * (-2y / x^3)

∂z/∂y: Эта частная производная просто равна производной arcsin(u) относительно u:

∂z/∂y = 1 / sqrt(1 - (y / x^2)^2)

Теперь мы можем записать полный дифференциал:

dz = [(1 / sqrt(1 - (y / x^2)^2)) * (-2y / x^3)]dx + [1 / sqrt(1 - (y / x^2)^2)]dy

б) z = x^y + x:

Для этой функции сначала найдем частные производные (∂z/∂x) и (∂z/∂y):

∂z/∂x: Эта частная производная требует использования правила степенной функции и правила дифференцирования суммы:

∂(x^y + x)/∂x = y * x^(y-1) + 1

∂z/∂y: Для этой частной производной используем правило степенной функции и правило дифференцирования по переменной:

∂(x^y + x)/∂y = ln(x) * x^y

Теперь мы можем записать полный дифференциал:

dz = (y * x^(y-1) + 1)dx + (ln(x) * x^y)dy

Это и есть полные дифференциалы для данных функций.