Question

Помогите решить неравенство log2(x-14)-1/2log2(3x-26)>1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\log_2(x-14)-0.5\log_2(3x-26)>1 |\cdot2\\2\log_2(x-14)>2+\log_2(3x-26), \: x-14>0 \Leftrightarrow x>14\\\log_2(x-14)^2>\log_2(4(3x-26))\\(x-14)^2>4(3x-26)\\x^2-28x+196-12x+104>0\\x^2-40x+300>0\\D/4=400-300=100\\x_1=20+10=30\\x_2=20-10=10\\(x-30)(x-10)>0 | :x-10>0\\x-30>0\\x>30\\OTBET: x \in (30; +\infty)$

Answer 2

$\log_2(x-14)-\frac{1}{2}\log_2(3x-26)>1$

ОДЗ:

$\left\{\begin{matrix}x-14>0 & & \\ 3x-26>0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x>14 & & \\ x>\frac{26}{3} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x>14.$

Вычитаемое перебросим вправо со знаком + и умножим обе части на 2:

$\log_2(x-14)>1+\frac{1}{2}\log_2(3x-26);\\\\2\log_2(x-14)>2+\log_2(3x-26)$

По свойствам $\boxed{a\log_b c=\log_b c^a}$, $\boxed{\log_ab+\log_ac=\log_a(a\cdot b)}$ преобразуем обе части:

$\log_2(x-14)^2>\log_24+\log_2(3x-26);\\\\\log_2(x^2-28x+196)>\log_2(4(3x-26)).$

Логарифмы опускаем, знак сохраняем, так как основание 2 > 1.

$x^2-28x+196>12x-104;\\\\x^2-40x+300>0.$

Нули левой части удобно найти по теореме Виета:

$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=40 & & \\ x_1\cdot x_2=300& & \end{matrix}\right. \Rightarrow x_1=10, x_2=30$

Записываем неравенство в виде $(x-10)(x-30)>0$, решаем методом интервалов (вложение) и получаем, что $x\in(-\infty;10)\cup(30;+\infty)$. Вспоминаем, что по ОДЗ x > 14 - значит, ответом служит только второй интервал.

ОТВЕТ: (30; +∞)

Answer 3

Давайте рассмотрим данное неравенство и попробуем его решить. Начнем с того, что оно включает в себя логарифмы, поэтому для решения нам нужно применить свойства логарифмов.

Исходное неравенство:

log2(x - 14) - (1/2)log2(3x - 26) > 1

Первым шагом давайте уберем логарифмы, применив следующее свойство:

log2(a) - log2(b) = log2(a/b)

Теперь мы можем объединить логарифмы:

log2((x - 14) / √(3x - 26)) > 1

Теперь, чтобы избавиться от логарифма, мы можем возвести обе стороны неравенства в степень 2, так как основание логарифма равно 2:

((x - 14) / √(3x - 26))^2 > 2^1

Теперь у нас есть:

(x - 14)^2 / (3x - 26) > 2

Давайте умножим обе стороны на (3x - 26), но будьте осторожными, так как мы не можем умножить на отрицательное число без изменения направления неравенства. Так что мы должны учесть, что (3x - 26) должно быть положительным:

Если 3x - 26 > 0, тогда мы можем умножить обе стороны на (3x - 26) и оставить неравенство без изменений.

3x - 26 > 0

3x > 26

x > 26/3

Теперь мы можем умножить обе стороны на (3x - 26) и изменить направление неравенства, так как (3x - 26) является отрицательным:

(x - 14)^2 > 2(3x - 26)

(x - 14)^2 > 6x - 52

Теперь раскроем квадрат:

x^2 - 28x + 196 > 6x - 52

Теперь переносим все члены влево:

x^2 - 28x - 6x + 196 + 52 > 0

x^2 - 34x + 248 > 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Чтобы найти значения x, для которых это неравенство выполняется, мы можем воспользоваться дискриминантом. Дискриминант для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 равен D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, a = 1, b = -34 и c = 248. Так что:

D = (-34)^2 - 4(1)(248) D = 1156 - 992 D = 164

Дискриминант D положителен, что означает, что у нас есть два корня:

x1 = (-b + √D) / (2a) x1 = (34 + √164) / 2 x1 = (34 + 2√41) / 2 x1 = 17 + √41

x2 = (-b - √D) / (2a) x2 = (34 - √164) / 2 x2 = (34 - 2√41) / 2 x2 = 17 - √41

Таким образом, у нас есть два корня: x1 и x2.

Теперь давайте определим интервалы, в которых неравенство выполняется. Мы знаем, что x > 26/3, поэтому двигаемся вправо от x = 26/3 и проверяем интервалы:

1. Если x < 17 - √41, то (x - 14)^2 будет положительным, и (x - 14)^2 > 0. Также 6x - 52 будет меньше 0 в этом интервале (потому что x меньше 17 - √41), поэтому (x - 14)^2 > 6x - 52. Итак, неравенство выполняется в интервале (26/3, 17 - √41).

2. Если 17 - √41 < x < 17 + √41, то (x - 14)^2 > 0, но 6x - 52 будет положительным. Поэтому неравенство не выполняется в этом интервале.

3. Если x > 17 + √41, то (x - 14)^2 будет положительным, и (x - 14)^2 > 6x - 52. Таким образом, неравенство выполняется в интервале (17 + √41, +∞).

Итак, решение неравенства:

x > 26/3 или x находится в интервале (26/3, 17 - √41) или x находится в интервале (17 + √41, +∞).

Пожалуйста, убедитесь, что вы правильно прочитали и поняли все шаги решения, так как это может быть сложной математикой.