Question

Образующая конуса равна 6 см, а угол между нею и плоскостью основания равен 60 градусов. Найдите объем конуса (в куб. см) Помогите пожалуйста.

Answer 1

Пошаговое объяснение:cм. во вложении

Answer 2

Чтобы найти объем конуса, нам нужно знать его высоту и радиус основания. Высота конуса образована образующей и перпендикулярна плоскости основания. Дано, что образующая равна 6 см, и угол между образующей и плоскостью основания составляет 60 градусов. Этот угол является углом между образующей и высотой конуса. Мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями для нахождения высоты и радиуса основания.

Из определения тригонометрических функций мы знаем, что тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. Таким образом, можно записать:

\[ \tan(60^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}. \]

Противолежащий катет - это высота конуса, а прилежащий катет - это радиус основания. Так как \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\), мы можем написать:

\[ \sqrt{3} = \frac{\text{высота}}{\text{радиус основания}}. \]

Теперь, чтобы найти высоту, умножим радиус основания на \(\sqrt{3}\):

\[ \text{высота} = \sqrt{3} \times \text{радиус основания}. \]

Также нам известно, что образующая равна 6 см. Используем теорему Пифагора для нахождения радиуса основания:

\[ \text{радиус основания} = \sqrt{\text{образующая}^2 - \text{высота}^2}. \]

Подставляем известные значения:

\[ \text{радиус основания} = \sqrt{6^2 - \left(\sqrt{3} \times \text{радиус основания}\right)^2}. \]

Решаем это уравнение относительно радиуса основания:

\[ \text{радиус основания} = \sqrt{36 - 3 \times \text{радиус основания}^2}. \]

После несложных алгебраических преобразований мы получаем квадратное уравнение:

\[ 3 \times \text{радиус основания}^2 = 36 - \text{радиус основания}^2. \]

Решаем его:

\[ 4 \times \text{радиус основания}^2 = 36. \]

\[ \text{радиус основания}^2 = 9. \]

\[ \text{радиус основания} = 3 \, \text{см}. \]

Теперь, когда у нас есть радиус основания, мы можем найти высоту:

\[ \text{высота} = \sqrt{3} \times 3 = 3\sqrt{3} \, \text{см}. \]

Теперь, когда у нас есть радиус основания и высота, мы можем найти объем конуса, используя формулу:

\[ \text{Объем конуса} = \frac{1}{3} \times \pi \times \text{радиус основания}^2 \times \text{высота}. \]

Подставляем известные значения:

\[ \text{Объем конуса} = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 3\sqrt{3} \, \text{см}^3. \]

Упрощаем выражение:

\[ \text{Объем конуса} = 9\pi\sqrt{3} \, \text{см}^3 \approx 49.01 \, \text{см}^3. \]

Таким образом, объем конуса составляет приблизительно \(49.01 \, \text{см}^3\).