Question

Равнобочная, трапеция с основанием 10 и 16 и высотой 4 вращается около меньшего основания .найдите объем тела вращения (с рисунком)

Answer 1

Ответ:

256π

Пошаговое объяснение:

При вращении образуется цилиндр.

L=H=16, образующая цилиндра и высота цилиндра равна большому основанию трапеции

R=4 радиус цилиндра равен высоте трапеции.

V=πR²H=π4²*16=256π

Answer 2

Для того чтобы найти объем тела вращения трапеции вокруг меньшего основания, можно воспользоваться методом цилиндрической оболочки. Этот метод заключается в том, что мы разбиваем фигуру на бесконечно маленькие цилиндрические слои, вращаем их вокруг заданной оси и находим объем каждого слоя. Затем мы суммируем объемы всех слоев, чтобы получить общий объем тела.

Давайте разберемся более подробно:

1. Рассмотрим трапецию с основаниями a = 10 и b = 16 и высотой h = 4. Построим ось вращения, которая будет проходить через меньшее основание.

2. Мы будем рассматривать бесконечно маленькие горизонтальные полосы или слои трапеции, перпендикулярные к острию меньшего основания. Пусть x будет переменной, которая будет описывать расстояние от верхней грани трапеции до текущего слоя. Эта переменная будет меняться от 0 до 4, так как высота трапеции равна 4.

3. Теперь давайте рассмотрим бесконечно маленький слой толщиной dx, который находится на расстоянии x от верхней грани трапеции. Этот слой будет иметь форму прямоугольника со сторонами dx и y(x), где y(x) - это длина отрезка, который соединяет верхний и нижний контуры слоя трапеции. Эта длина будет зависеть от x.

4. Поскольку ось вращения проходит через меньшее основание трапеции, радиус цилиндрической оболочки будет равен y(x), а высота цилиндрической оболочки будет равна dx.

5. Теперь мы можем выразить объем бесконечно маленькой цилиндрической оболочки dV(x) как:

dV(x) = π * (y(x))^2 * dx

6. Чтобы найти y(x), мы можем использовать подобие треугольников. У нас есть два подобных треугольника: один с вершиной в верхнем углу трапеции и один внутри слоя. Мы можем записать следующее уравнение:

(b - a) / 4 = (y(x) - a) / x

Решим его относительно y(x):

y(x) = a + (b - a) * x / 4

7. Теперь мы можем подставить это выражение для y(x) в уравнение для dV(x):

dV(x) = π * [a + (b - a) * x / 4]^2 * dx

8. Теперь мы можем интегрировать dV(x) от 0 до 4, чтобы найти полный объем тела вращения:

V = ∫[0, 4] π * [a + (b - a) * x / 4]^2 * dx

9. Подставим значения a = 10, b = 16 и произведем интегрирование:

V = π * ∫[0, 4] [10 + (16 - 10) * x / 4]^2 * dx V = π * ∫[0, 4] [10 + 1.5x]^2 * dx

10. Теперь вычислим этот интеграл:

V = π * ∫[0, 4] (10 + 1.5x)^2 * dx V = π * [10x + 0.5 * 1.5x^2 + (1/3) * 1.5^2 * x^3] |[0, 4]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

V = π * [(10 * 4 + 0.5 * 1.5 * 4^2 + (1/3) * 1.5^2 * 4^3) - (10 * 0 + 0.5 * 1.5 * 0^2 + (1/3) * 1.5^2 * 0^3)] V = π * [40 + 18 + 18] V = π * 76

11. Окончательный ответ:

V = 76π кубических единиц.

Таким образом, объем тела вращения трапеции вокруг меньшего основания равен 76π кубическим единицам.