Question

Х²+10х+21<0 -8x²+3x+6>02x²+7x-15>06x²-13x+6<0Решите квадратное уравнение

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Нарисуем все графики функций. Все графики на рисунке

<0 - означает промежуток, где график расположен ниже оси Ох

>0 - означает промежуток, где график расположен выше оси Ох

Знаки "<" ">" - строгие, поэтому граничные точки не включаются (скобки круглые)

х²+10х+21<0

(-7;-3) - видно по графику

-8x²+3x+6>0

По графику не видно, какие точки пересекают ось Ох, поэтому решим уравнение:

$-8x^2+3x+6=0\\D=9+4*8*6=201\\x_1=\frac{-3+\sqrt{201} }{-16} =\frac{3-\sqrt{201} }{16}\\x_2=\frac{-3-\sqrt{201} }{-16} =\frac{3+\sqrt{201} }{16}\\(\frac{3-\sqrt{201} }{16};\frac{3+\sqrt{201} }{16})$

2x²+7x-15>0

По графику видно, что ось Ох пересекается в точках (-5;0) и (1,5;0), поэтому решение:

(-∞;-5)U(1,5;+∞)

6x²-13x+6<0

По графику не видно, какие точки пересекают ось Ох, поэтому решим уравнение:

$6x^2-13x+6=0\\D=169-4*6*6=25\\x_1=\frac{13+5}{12}=1,5\\x_1=\frac{13-5}{12}=\frac{2}{3} \\(\frac{2}{3};1,5)$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из данных квадратных неравенств по отдельности:

1. \(x^2 + 10x + 21 < 0\)

Для решения этого неравенства, начнем с нахождения корней уравнения, соответствующего этому неравенству. Уравнение \(x^2 + 10x + 21 = 0\) можно решить с помощью квадратного трехчлена или квадратного уравнения. Для этого используем формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

где у нас есть \(a = 1\), \(b = 10\), и \(c = 21\).

\[\begin{align*} x &= \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}\\ x &= \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}\\ x &= \frac{-10 \pm \sqrt{16}}{2}\\ x &= \frac{-10 \pm 4}{2} \end{align*}\]

Таким образом, у нас есть два корня: \(x_1 = -3\) и \(x_2 = -7\).

Теперь мы можем определить интервалы, в которых \(x^2 + 10x + 21\) меньше нуля. Эти интервалы будут между корнями уравнения. Из полученных корней \(x_1 = -3\) и \(x_2 = -7\) видно, что \(x^2 + 10x + 21\) будет меньше нуля в интервале \(-7 < x < -3\).

2. \(-8x^2 + 3x + 6 > 0\)

Это неравенство можно решить с помощью факторизации. Сначала перепишем его:

\(-8x^2 + 3x + 6 > 0\)

Теперь факторизуем левую сторону:

\(-8x^2 + 3x + 6 = -(8x^2 - 3x - 6)\)

Теперь решим квадратное уравнение внутри скобок:

Для уравнения \(-8x^2 + 3x + 6 = 0\) используем формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

где \(a = -8\), \(b = 3\), и \(c = 6\).

\[\begin{align*} x &= \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot (-8) \cdot 6}}{2 \cdot (-8)}\\ x &= \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 192}}{-16}\\ x &= \frac{-3 \pm \sqrt{201}}{-16} \end{align*}\]

Таким образом, корни уравнения \(-8x^2 + 3x + 6 = 0\) равны:

\[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{201}}{-16}\]

\[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{201}}{-16}\]

Теперь мы можем определить интервалы, в которых \(-8x^2 + 3x + 6\) больше нуля. Для этого определим знак выражения \(-8x^2 + 3x + 6\) на каждом из этих интервалов, используя корни уравнения. Мы видим, что \(-8x^2 + 3x + 6 > 0\) на интервалах \((-\infty, x_2) \cup (x_1, +\infty)\).

3. \(2x^2 + 7x - 15 > 0\)

Это неравенство также можно решить с помощью факторизации. Сначала перепишем его:

\(2x^2 + 7x - 15 > 0\)

Теперь факторизуем левую сторону:

\(2x^2 + 7x - 15 = (2x - 3)(x + 5)\)

Теперь мы можем определить интервалы, в которых \(2x^2 + 7x - 15\) больше нуля. Для этого определим знак выражения \(2x^2 + 7x - 15\) на каждом из этих интервалов, используя факторизацию. Мы видим, что \(2x^2 + 7x - 15 > 0\) на интервалах \((-5, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)\).

4. \(6x^2 - 13x + 6 < 0\)

Для решения этого неравенства, начнем с нахождения корней уравнения, соответствующего этому неравенству. Уравнение \(6x^2 - 13x + 6 = 0\) можно решить с помощью квадратного трехчлена или квадратного уравнения. Для этого используем формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

где у нас есть \(a = 6\), \(b = -13\), и \(c = 6\).

\[\begin{align*} x &= \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6}}{2 \cdot 6}\\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{12}\\ x &= \frac{13 \pm \sqrt{25}}{12}\\ x &= \frac{13 \pm 5}{12} \end{align*}\]

Таким образом, у нас есть два корня: \(x_1 = \frac{3}{2}\

Answer 3

Для решения квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0, нужно использовать формулу дискриминанта:

D = b² - 4ac

Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня: x₁ = (-b + √D) / (2a) x₂ = (-b - √D) / (2a)

Если D = 0, то уравнение имеет один корень: x = -b / (2a)

Если D < 0,