Question

Обчислити dy/dx якщо ln y= x arctg y

Answer 1

Ответ:

Дифференцирование неявно заданной функции .  

Учитываем , что  у  - функция , а  х - переменная   $\bf y'(x)=y'\ ,\ \ x'=1$  .

$\bf ln\, y=x\cdot arctg\, y\\\\\\\dfrac{y'}{y}=1\cdot arctg\, y+x\cdot \dfrac{1}{1+y^2}\cdot y'\\\\\\y'=y\cdot arctg\, y+\dfrac{x\, y}{1+y^2}\cdot y'\\\\\\y'\cdot \Big(1-\dfrac{x\, y}{1+y^2}\Big)=y\cdot arctg\, y\\\\\\y'\cdot \dfrac{1+y^2-x\, y}{1+y^2}=y\cdot arctg\, y\\\\\\y'=\dfrac{y\cdot arctg\, y\cdot (1+y^2)}{1+y^2-x\, y}\\\\\\\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y\cdot arctg\, y\cdot (1+y^2)}{1+y^2-x\, y}$  

Answer 2

Щоб знайти похідну dy/dx від y відносно x, спочатку треба взяти похідну обох боків виразу ln(y) = x + arctg(y) за змінною x. Давайте розглянемо кожен крок:

1. Візьмемо похідну від обох боків за змінною x: d/dx (ln(y)) = d/dx (x + arctg(y))

2. Знайдемо похідні кожного з окремих членів:

- Похідна ln(y) відносно y: (1/y) * dy/dx - Похідна (x + arctg(y)) відносно x: 1 + d(arctg(y))/dx

3. Тепер об'єднаємо обидві похідні:

(1/y) * dy/dx = 1 + d(arctg(y))/dx

4. Тепер знайдемо d(arctg(y))/dx, використовуючи правило ланцюга:

d(arctg(y))/dx = d(arctg(y))/dy * dy/dx

Тепер знайдемо похідну arctg(y) відносно y, яка дорівнює 1/(1 + y^2):

d(arctg(y))/dy = 1/(1 + y^2)

Таким чином,

d(arctg(y))/dx = (1/(1 + y^2)) * dy/dx

5. Підставимо це значення назад в рівняння:

(1/y) * dy/dx = 1 + (1/(1 + y^2)) * dy/dx

6. Тепер можемо розв'язати це рівняння відносно dy/dx. Спростимо його:

(1/y - 1/(1 + y^2)) * dy/dx = 1

7. Знайдемо спільний знаменник і об'єднаємо дріби:

((1 + y^2 - y) / (y(1 + y^2))) * dy/dx = 1

8. Перетворимо рівняння, помноживши обидві сторони на знаменник:

dy/dx = (y(1 + y^2)) / (1 + y^2 - y)

9. Спростимо вираз в чисельнику:

dy/dx = y(1 + y^2) / (1 - y)

Отже, вираз для dy/dx від y відносно x виглядає так:

dy/dx = (y(1 + y^2)) / (1 - y)