Question

Помогите решить дифференциальное уравнение 2(x + y^4)y'=y y(-2)=-1

Answer 1

....................................

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения сначала перепишем его в более удобной форме:

2(x + y^4)y' = y - 2y = -y

Теперь давайте разделим обе стороны уравнения на 2(x + y^4):

y' = -y / [2(x + y^4)]

Теперь это уравнение можно решить с помощью метода разделяющих переменных. Давайте перепишем его ещё немного:

y' = -y / [2x + 2y^4]

Теперь разделим переменные, переместив члены с y и x на разные стороны уравнения:

dy / y = -dx / [2x + 2y^4]

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(1/y) dy = -∫(1 / [2x + 2y^4]) dx

Левую сторону мы можем проинтегрировать как ln|y|, а правую сторону нужно проинтегрировать по x. Для упрощения вычислений мы можем вынести 2 из знаменателя в правой части:

ln|y| = -∫(1 / [2(x + y^4)]) dx

Теперь выполним интеграл на правой стороне. Для этого нам придется воспользоваться методом частей (интегрирование по частям):

∫(1 / [2(x + y^4)]) dx = (1/2)∫(1 / (x + y^4)) dx

Выберем u = 1 и dv = (1 / (x + y^4)) dx. Тогда du = 0 и v = ∫(1 / (x + y^4)) dx.

Интегрируем v:

v = ∫(1 / (x + y^4)) dx

Этот интеграл может быть сложным, и его аналитический вид может зависеть от конкретной функции y(x). Тем не менее, после выполнения этого интеграла, вы получите выражение вида:

ln|y| = (1/2)v + C

где C - произвольная постоянная.

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон уравнения, чтобы избавиться от логарифма:

|y| = e^((1/2)v + C)

Теперь, используя свойства экспоненты, мы можем переписать это уравнение как:

|y| = e^C * e^(v/2)

Обратите внимание, что e^C - это также произвольная постоянная, которую мы можем обозначить как K:

|y| = Ke^(v/2)

Теперь мы можем заметить, что v = ∫(1 / (x + y^4)) dx. Вернемся к второй части уравнения и подставим v:

v = ∫(1 / [2(x + y^4)]) dx

Теперь мы имеем следующее уравнение:

|y| = Ke^(∫(1 / [2(x + y^4)]) dx / 2)

Это уравнение может быть решено численно с помощью компьютерных программ или методов численной аппроксимации, так как в общем виде оно может быть сложным.