Question

Докажите, что значит выражение 875^3-125^3 кратно 75. решите пожалуйста, за это задание отдам 40 баллов.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

875³ - 125³ = (875 - 125)(875² + 875 * 125 + 125²) = 750 * (875² + 875 * 125 + 125²)

т.к. один из множителей делится на 75, то и произведение делится на 75

что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства того, что выражение \(875^3 - 125^3\) кратно 75, мы можем воспользоваться алгебраическим методом, используя факторизацию. Кратность 75 означает, что это выражение делится на 75 без остатка.

Давайте начнем с выражения:

\[875^3 - 125^3\]

Сначала вычислим сами кубы:

\[875^3 = (5 \cdot 175)^3 = 5^3 \cdot 175^3 = 125 \cdot 175^3\] \[125^3 = 5^3 \cdot 5^3 \cdot 5^3 = 125 \cdot 125 \cdot 125\]

Теперь мы можем записать выражение в виде разности кубов:

\[875^3 - 125^3 = 125 \cdot 175^3 - 125 \cdot 125 \cdot 125\]

Теперь можно вынести общий множитель 125 за скобку:

\[875^3 - 125^3 = 125 \cdot (175^3 - 125 \cdot 125)\]

Теперь нам нужно показать, что \(175^3 - 125 \cdot 125\) делится на 75 без остатка. Для этого давайте разделим это выражение на 75:

\[(175^3 - 125 \cdot 125)/75\]

Мы видим, что \(175^3\) делится на 25, так как 175 делится на 25:

\[175^3 = 25 \cdot 7^3\]

Также \(125 \cdot 125\) делится на 25, так как каждое из чисел делится на 25:

\[125 \cdot 125 = 25 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = 25 \cdot 5^4\]

Итак, мы можем записать выражение в следующем виде:

\[(175^3 - 125 \cdot 125)/75 = (25 \cdot 7^3 - 25 \cdot 5^4)/75\]

Теперь можно вынести 25 за скобку:

\[(25 \cdot (7^3 - 5^4))/75\]

Заметим, что \(7^3 - 5^4\) равно 312, так как \(7^3 = 343\) и \(5^4 = 625\), и разность 343 - 625 равна -312.

Теперь мы можем записать наше выражение как:

\[(25 \cdot (-312))/75\]

И далее упростить:

\[-312/3\]

Результат этого деления -104. Таким образом, \((175^3 - 125 \cdot 125)/75 = -104\), и это означает, что исходное выражение \(875^3 - 125^3\) делится на 75 без остатка.

Итак, мы доказали, что \(875^3 - 125^3\) кратно 75.