Question

Найти частные производные 1)Z=y*ln(x) 2)Z=e^x^2+y 3)Z=ln(2x+y)

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для нахождения частных производных данных функций по переменным x и y, мы будем использовать правила дифференцирования. Ниже представлены результаты вычислений:

1) Z = y * ln(x)

Частная производная по x: ∂Z/∂x = ∂(y * ln(x))/∂x

Используем правило производной произведения: ∂(y * ln(x))/∂x = y * (∂ln(x)/∂x) + ln(x) * (∂y/∂x)

∂ln(x)/∂x = 1/x

∂y/∂x - это частная производная y по x, которую мы не знаем, поэтому ответ остается в таком виде: ∂Z/∂x = y/x

Частная производная по y: ∂Z/∂y = ∂(y * ln(x))/∂y

Используем правило производной произведения: ∂(y * ln(x))/∂y = ln(x) * (∂y/∂y) + y * (∂ln(x)/∂y)

∂y/∂y = 1

∂ln(x)/∂y = 0, так как ln(x) не зависит от y.

Таким образом, частная производная по y равна: ∂Z/∂y = ln(x)

2) Z = e^(x^2 + y)

Частная производная по x: ∂Z/∂x = ∂(e^(x^2 + y))/∂x

Используем правило цепочки (chain rule), где f(u) = e^u, u = x^2 + y, и g(x) = x^2: ∂Z/∂x = f'(u) * g'(x)

f'(u) = e^u g'(x) = 2x

Теперь подставим значения: ∂Z/∂x = e^(x^2 + y) * 2x

Частная производная по y: ∂Z/∂y = ∂(e^(x^2 + y))/∂y

Используем ту же цепочку, но на этот раз f'(u) = e^u, u = x^2 + y, и g(y) = y: ∂Z/∂y = f'(u) * g'(y)

f'(u) = e^u g'(y) = 1

Теперь подставим значения: ∂Z/∂y = e^(x^2 + y) * 1 = e^(x^2 + y)

3) Z = ln(2x + y)

Частная производная по x: ∂Z/∂x = ∂(ln(2x + y))/∂x

Используем правило цепочки (chain rule), где f(u) = ln(u), u = 2x + y, и g(x) = 2x: ∂Z/∂x = f'(u) * g'(x)

f'(u) = 1/u g'(x) = 2

Теперь подставим значения: ∂Z/∂x = (1/(2x + y)) * 2 = 2/(2x + y)

Частная производная по y: ∂Z/∂y = ∂(ln(2x + y))/∂y

Используем ту же цепочку, но на этот раз f'(u) = 1/u, u = 2x + y, и g(y) = y: ∂Z/∂y = f'(u) * g'(y)

f'(u) = 1/u g'(y) = 1

Теперь подставим значения: ∂Z/∂y = (1/(2x + y)) * 1 = 1/(2x + y)

Таким образом, мы нашли частные производные данных функций по переменным x и y.