Question

Найдите sinx^8+cosx^8 если sin 2x=2/5

Answer 1

2sin x·cos x = sin(2x);  

2/5=0,4; 1/2=0,5; 1/8-0,125;

син^2+кос^2=1

(син^2+кос^2)^2=син^4+кос^4+2син^2 ·кос^2=1

син^4+кос^4=1-2син^2·кос^2

(син^4+кос^4)^2=син^8+кос^8+2син^4·кос^4

син^8+кос^8=(син^4+кос^4)^2-2син^4·кос^4=(1-2син^2·кос^2)^2 - 2син^4·кос^4=

=(1-(1/2)·(2син·кос) ^2)^2 - (1/8)·(2син·кос) ^4 =  

=(1 - 0,5·sin^2(2x))^2 - 0,125·sin^4(2х) =

=(1 - 0,5·0,4^2)^2 - 0,125·0,4^4=(1-0,5·0,16)^2 - 0,125·0,16^2=

=0,8464 - 0,0032=0,8432

Answer 2

Для того чтобы найти значение выражения sin^8(x) + cos^8(x), используем известные тригонометрические тождества и информацию о sin(2x).

Известное тригонометрическое тождество гласит: sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Из этого тождества можно выразить sin^2(x) и cos^2(x) следующим образом: sin^2(x) = 1 - cos^2(x) cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Теперь воспользуемся данной информацией и найдем sin^4(x) и cos^4(x): sin^4(x) = (sin^2(x))^2 = (1 - cos^2(x))^2 cos^4(x) = (cos^2(x))^2 = (1 - sin^2(x))^2

Теперь у нас есть выражения для sin^4(x) и cos^4(x) через известные значения.

Далее, у нас есть информация о sin(2x): sin(2x) = 2/5

Теперь мы можем воспользоваться формулой двойного угла для синуса: sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x)

Подставим значение sin(2x) = 2/5 в уравнение: 2/5 = 2 * sin(x) * cos(x)

Теперь мы можем найти значение sin(x) * cos(x): sin(x) * cos(x) = (2/5) / 2 = 1/5

Теперь у нас есть значение sin(x) * cos(x), и мы можем использовать его, чтобы найти sin^4(x) и cos^4(x) в наших выражениях.

sin^4(x) = (1 - cos^2(x))^2 = (1 - (sin(x) * cos(x))^2)^2 = (1 - (1/5)^2)^2 = (1 - 1/25)^2 = (24/25)^2 = 576/625

cos^4(x) = (1 - sin^2(x))^2 = (1 - (sin(x))^2)^2 = (1 - (1/5)^2)^2 = (1 - 1/25)^2 = (24/25)^2 = 576/625

Теперь мы знаем значения sin^4(x) и cos^4(x), и можем найти их сумму:

sin^8(x) + cos^8(x) = (sin^4(x))^2 + (cos^4(x))^2 = (576/625)^2 + (576/625)^2 = 2 * (576/625)^2

Теперь вычислим значение этой суммы:

2 * (576/625)^2 = 2 * (331776/390625) = 663552/390625

Таким образом, sin^8(x) + cos^8(x) равно 663552/390625.