Question

Вычислить длину образа кривой z(t) = 1+it, 0≤t≤1, при отображении w = z²

Answer 1

$2\displaystyle \int^1_0 \sqrt{1+t^2}dt\approx2.3$

Answer 2

Для вычисления длины образа кривой z(t) = 1 + it, 0 ≤ t ≤ 1 при отображении w = z², мы должны следовать следующим шагам:

1. Вычислить образ кривой z(t). Для этого заменим z в формуле w = z² на 1 + it: w = (1 + it)² = (1 + it)(1 + it) = 1 + 2it - t² = 1 - t² + 2it

2. Теперь, чтобы найти длину образа, необходимо рассчитать интеграл длины дуги следующим образом: L = ∫[0,1] |w'(t)| dt

3. Найдем производную w'(t) образа: w'(t) = -2t + 2i

4. Теперь рассчитаем модуль производной: |w'(t)| = √((-2t)² + (2)²) = √(4t² + 4)

5. Подставим модуль в интеграл для вычисления длины образа: L = ∫[0,1] √(4t² + 4) dt

6. Решение данного интеграла приводит к следующему результату: L = √(4/3) * (2/3) * (e^(2/3) - 1)

Таким образом, длина образа кривой z(t) = 1 + it, 0 ≤ t ≤ 1 при отображении w = z² равна √(4/3) * (2/3) * (e^(2/3) - 1).