Question

Доказать, что нок двух чисел обязательно делится на их нод

Answer 1

Привет!

Давай вспомним правила школьного курса по алгебре. Очевидно, что если число делиться на делитель, то и его кратное будет делиться на этот делитель. 

Это выходит из того, что наименьшее общее кратное содержит в себе все элементарные множители в самых больших степенях. Наибольший общий делитель содержит все элементарные множители в наименьших степенях.

Хорошего тебе дня :)

Answer 2

Давайте рассмотрим два числа, обозначим их как A и B, и их наибольший общий делитель (НОД) как GCD(A, B). Теперь давайте предположим, что нок (наименьшее общее кратное) этих двух чисел, обозначенное как LCM(A, B), не делится на их НОД GCD(A, B).

Мы знаем, что НОД A и B - это наибольшее число, которое делит оба числа A и B без остатка. Таким образом, GCD(A, B) делит A и B без остатка. Давайте обозначим GCD(A, B) как G.

Теперь давайте предположим, что LCM(A, B) не делится на GCD(A, B), что означает, что есть как минимум один простой множитель, который присутствует в LCM(A, B), но отсутствует в GCD(A, B).

LCM(A, B) - это наименьшее общее кратное A и B, и по его определению, оно является наименьшим числом, которое делится и на A, и на B, без остатка. Поскольку GCD(A, B) делит A и B без остатка, это означает, что G также делит LCM(A, B) без остатка. Однако мы предполагаем, что LCM(A, B) не делится на G, что приводит к противоречию.

Таким образом, наше предположение о том, что LCM(A, B) не делится на GCD(A, B), неверно. Следовательно, нок двух чисел всегда делится на их НОД. Это является одним из свойств математической теории чисел и известно как теорема о НОД и нок: LCM(A, B) = (A * B) / GCD(A, B).