Question

Pamagiti z=y/x, x=e^t, y=1-e^2t; найти dz/dt

Answer 1

$\frac{dz}{dt} = \frac{dz}{dx} \times \frac{dx}{dt} + \frac{dz}{dy} \times \frac{dy}{dt}$

$\frac{dz}{dx} = - y {x}^{ - 2} = - \frac{y}{ {x}^{2} }$

$\frac{dx}{dt} = {e}^{t}$

$\frac{dz}{dy} = \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dt} = - 2 {e}^{2t}$

$\frac{dz}{dt} = - \frac{y}{ {x}^{2} } {e}^{t} - \frac{ 2{e}^{2t} }{x}$

Answer 2

Для решения данной задачи нам необходимо найти производную функции z от переменной t.

Дано уравнение z = y/x Из условия задачи также известно: x = e^t y = 1 - e^(2t)

Для нахождения dz/dt используем правило дифференцирования частного: dz/dt = (dy/dt * x - y * dx/dt) / x^2

Теперь найдем производные dy/dt и dx/dt.

dy/dt = d/dt (1 - e^(2t)) Поскольку производная постоянного значения равна нулю, а производная от e^(2t) равна 2e^(2t), получаем: dy/dt = -2e^(2t)

dx/dt = d/dt (e^t) Производная от e^t равна самому себе, поэтому: dx/dt = e^t

Теперь подставляем значения в формулу и упрощаем выражение: dz/dt = (-2e^(2t) * e^t - (1 - e^(2t)) * e^t) / (e^t)^2 = (-2e^(3t) - (e^t - e^(3t))) / e^(2t) = (-2e^(3t) - e^t + e^(3t)) / e^(2t) = (-e^t - 2e^(3t)) / e^(2t)

Таким образом, производная z по t равна (-e^t - 2e^(3t)) / e^(2t).