Question

Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Найдите длину стороны AC, если радиус описанной окружности треугольника ABC равен 7.

Answer 1

Рассмотрим рисунок. Проведем отрезок MP, как показано на рисунке. BM - диаметр малой окружности (по условию задачи), следовательно треугольник BMP - прямоугольный с гипотенузой BM (по свойству описанной окружности).
Рассмотрим треугольники BMP и CPM:
MP - общая сторона
BP=PC (по условию задачи)
BPM=CPM, т.к. BPM - прямой, а CPM - ему смежный.
Следовательно треугольники BMP и CPM равны (по первому признаку). Отсюда следует, что BM=MC=MA.
Рассмотрим треугольник BMC. Т.к. MB=MC, то этот треугольник - равнобедренный, следовательно MCP=PBM (по свойству равнобедренных треугольников).
В треугольнике ABM аналогичная ситуация, BAM=ABM. Т.е. получается, что BAM+MCP=ABC. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, 180°=BAM+MCP+ABC
180°=ABC+ABC
180°=2*ABC
90°=ABC
Из чего следует, что треугольник ABC - прямоугольный. По свойству описанной окружности следует, что точка М - центр окружности, следовательно AC - диаметр => AC=2*R=2*7=14.
Ответ: AC=14.

Answer 2

По определению, медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае, медиана BM соединяет вершину B с серединой стороны AC.

Также, по условию, медиана BM является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Это означает, что точка пересечения медианы BM с стороной BC также является центром этой окружности.

Пусть точка пересечения медианы BM с стороной BC обозначается как D, а радиус описанной окружности треугольника ABC обозначается как R (в данном случае R = 7).

Так как точка D является серединой стороны BC, то BD = DC. Также, так как медиана BM является диаметром окружности, то BM = 2R = 2 * 7 = 14.

Треугольник BDM - равнобедренный треугольник, так как BD = DC (так как D - середина стороны BC) и BM является диаметром окружности. Значит, у этого треугольника угол BDM равен углу DBM.

Так как треугольник ABC является прямоугольным (BM - диаметр описанной окружности, значит, угол ABC - прямой), то угол BDM также прямой.

Таким образом, в треугольнике BDM имеем два равных прямых угла и равные стороны BD и DM. Это означает, что треугольник BDM - равнобедренный прямоугольный треугольник.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике две равные катеты равны половине гипотенузы. Значит, BD = DM = 14 / 2 = 7.

Так как DM = 7, то DC = BD = 7.

Так как AC является основанием равнобедренного треугольника BDC, то AC = 2 * DC = 2 * 7 = 14.

Таким образом, длина стороны AC равна 14.