Question

2. Знайти ротор векторного поля F = (y² + xz)i+ (yx - z)j +(yz + x)k​

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Щоб знайти ротор векторного поля F = (y² + xz)i + (yx - z)j + (yz + x)k, ми можемо застосувати оператор ротору до цього поля. Оператор ротору в тривимірному просторі можна виразити як:

rot(F) = ( ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z ) x (F)

де ( ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z ) - оператори часткового похідного, а "x" позначає векторний добуток.

Розрахуємо кожну компоненту ротора окремо:

rot(F) = ( ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z ) x ( (y² + xz)i + (yx - z)j + (yz + x)k )

Для першої компоненти (x-компонента) отримуємо:

∂/∂y( yz + x ) - ∂/∂z( yx - z ) = z - (-1) = z + 1

Для другої компоненти (y-компонента) отримуємо:

∂/∂z( y² + xz ) - ∂/∂x( yz + x ) = x - z = -z + x

Для третьої компоненти (z-компонента) отримуємо:

∂/∂x( yx - z ) - ∂/∂y( y² + xz ) = y - y = 0

Таким чином, ротор векторного поля F = (y² + xz)i + (yx - z)j + (yz + x)k має наступний вигляд:

rot(F) = (z + 1)i + (-z + x)j + 0k = (z + 1)i + (-z + x)j

Answer 2

Для того чтобы найти ротор векторного поля F, сначала определим его. Ротор (или вихрь) векторного поля F определяется следующим образом:

rot(F) = ∇ × F

где ∇ - оператор набла, а F - данное векторное поле. Оператор набла (∇) можно записать как:

∇ = i∂/∂x + j∂/∂y + k∂/∂z

где i, j и k - единичные векторы вдоль осей x, y и z соответственно, а ∂/∂x, ∂/∂y и ∂/∂z - частные производные по соответствующим координатам.

Теперь выразим векторное поле F в виде:

F = (y² + xz)i + (yx - z)j + (yz + x)k

Теперь вычислим ротор векторного поля F. Для этого вычислим крестное произведение оператора набла и векторного поля F:

∇ × F = (i∂/∂x + j∂/∂y + k∂/∂z) × [(y² + xz)i + (yx - z)j + (yz + x)k]

Используя свойства крестного произведения и частных производных, мы можем вычислить этот ротор:

∇ × F = (i∂/∂x × (y² + xz)i + i∂/∂x × (yx - z)j + i∂/∂x × (yz + x)k) + (j∂/∂y × (y² + xz)i + j∂/∂y × (yx - z)j + j∂/∂y × (yz + x)k) + (k∂/∂z × (y² + xz)i + k∂/∂z × (yx - z)j + k∂/∂z × (yz + x)k)

Теперь вычислим каждое из этих членов:

1. i∂/∂x × (y² + xz)i = (2xy + z)i 2. i∂/∂x × (yx - z)j = 0 3. i∂/∂x × (yz + x)k = yk

4. j∂/∂y × (y² + xz)i = 0 5. j∂/∂y × (yx - z)j = (x - 1)k 6. j∂/∂y × (yz + x)k = xi

7. k∂/∂z × (y² + xz)i = -xi 8. k∂/∂z × (yx - z)j = -yj 9. k∂/∂z × (yz + x)k = (2z - y)k

Теперь соберем все эти члены вместе:

∇ × F = ((2xy + z)i + 0j + yk) + (0i + (x - 1)k + xi) + (-xi - yj + (2z - y)k)

Теперь сложим соответствующие компоненты:

∇ × F = (2xyi + (x - 1)kj - yji - yji + zki + xki - xi - yji + (2z - y)kki)

Теперь объединим подобные члены:

∇ × F = (2xyi - xi - xi) + (xk - xk) + ((2z - y)kki - yji - yji)

Итак, ротор векторного поля F равен:

∇ × F = (2xy - 2xi) - xk + (2z - 2y)k

Теперь можно выразить его в более компактной форме:

∇ × F = (2x(y - 1) - xk + 2(z - y)k)