Question

Агрохозяйство имеет два засеянных пшеницей поля одинаковой площади. В агрохозяйстве есть комбайны двух классов: А и В. У всех комбайнов одного класса производительность одинаковая. Одновременно 5 комбайнов класса А приступили к уборке урожая с первого поля, а 5 комбайнов класса В - со второго поля. Когда была убрана четверть первого поля, с него 2 комбайна класса А были переброшены на уборку второго поля. а когда было убрано три четверти второго поля, со второго поля 3 комбайна класса В были переброшены на уборку первого поля. В результате, уборка урожая с этих полей закончилась одновременно. Как относятся производительности комбайнов класса А и класса В?

Answer 1

Пусть А и В - производительности комбайнов, S - площадь поля, t1 - время уборки 5 комбайнами типа А первой четверти поля, t2 - время работы 2 комбайнов типа А и 5 комбайнов типа В на 2ом поле, начиная переходом комбайнов типа А с 1ого поля и заканчивая уборкой трех четвертей 2ого поля, t3 - оставшееся время уборки.

Тогда $t_1=\dfrac{\dfrac{s}{4}}{5A}=\dfrac{S}{20A}$

Т.к. за время t1 на втором поле было убрано $5Bt_1$ урожая, а за время t1+t2 - три четверти поля, то $5Bt_1+(2A+5B)t_2=\dfrac{3S}{4}=>t_2=\dfrac{\dfrac{3S}{4}-5Bt_1}{2A+5B}$

За оставшееся время t3 на втором поле убрали оставшуюся четверть урожая, то $t_3(2A+2B)=\dfrac{S}{4}=>t_3=\dfrac{S}{4(2A+2B)}$

Приравняем работу на двух полях:

$5At_1+3At_2+(3B+3A)t_3=5Bt_1+(2A+5B)t_2+(2A+2B)t_3\\ \left[\dfrac{S}{4}=5At_1=(2A+2B)t_3\right] \\ -5Bt_1+(A-5B)t_2+(3A+3B)t_3=0\\ \dfrac{-5BS}{20A}+(A-5B)\dfrac{\dfrac{3S}{4}-\dfrac{5BS}{20A}}{2A+5B}+(3A+3B)\dfrac{S}{4(2A+2B)}=0\\ -B+(A-5B)\dfrac{3A-B}{2A+5B}+\dfrac{3}{2}A=0\\ 3A^2-AB-15AB+5B^2=2AB+5B^2-3A^2-\dfrac{15}{2}AB\\ 6A^2-\dfrac{21}{2}AB=0\\ 12A-21B=0=>\dfrac{A}{B}=\dfrac{21}{12}=\dfrac{7}{4}$

Ответ: $\dfrac{7}{4}$

Answer 2

Из условия задачи можно сделать следующие предположения:

Пусть производительность одного комбайна класса А равна "А единиц/единицу времени", а производительность одного комбайна класса В равна "В единиц/единицу времени".

Пусть площадь каждого поля составляет 100 единиц.

Когда была убрана четверть первого поля (т.е., 25 единиц), оставшиеся 75 единиц урожая на первом поле должны были быть убраны теми же 5 комбайнами класса А. Таким образом, время, необходимое для уборки 25 единиц урожая с помощью 5 комбайнов класса А, составляет 25/(5 * А) единиц времени.

Аналогично, когда было убрано три четверти второго поля (т.е., 75 единиц), оставшиеся 25 единиц урожая на втором поле должны были быть убраны теми же 5 комбайнами класса В. Таким образом, время, необходимое для уборки 75 единиц урожая с помощью 5 комбайнов класса В, составляет 75/(5 * В) единиц времени.

Условие гласит, что уборка урожая с этих полей закончилась одновременно. Это означает, что время, необходимое для уборки 25 единиц урожая с помощью 5 комбайнов класса А, должно быть равно времени, необходимому для уборки 75 единиц урожая с помощью 5 комбайнов класса В:

25/(5 * А) = 75/(5 * В)

Перекрестно умножим и решим уравнение относительно А и В:

25 * В = 75 * А

В = 3А

Таким образом, производительность комбайнов класса В должна быть втрое больше, чем производительность комбайнов класса А.