Question

Найти производную функции x+1/x^2+2x+2

Answer 1

Если задание должно выглядеть так:
Найти производную функции (x+1)/(x^2+2x+2), то производная этой функции равна:
$y'= \frac{x(x+2)}{(x^2+2x+2)^2} .$
Подробное решение в приложении.

Answer 2

Для нахождения производной функции \(f(x) = x + \frac{1}{x^2} + 2x + 2\), нужно применить правила дифференцирования для каждого слагаемого. Воспользуемся стандартными правилами дифференцирования:

1. Дифференцирование \(x\) по \(x\) даёт \(1\).

2. Дифференцирование \(\frac{1}{x^2}\) по \(x\) требует применения правила дифференцирования обратной функции. Правило это гласит, что производная \(\frac{1}{u}\) по \(x\) равна \(-\frac{1}{u^2} \cdot \frac{du}{dx}\). В данном случае \(u = x^2\), поэтому:

\(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{1}{(x^2)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = -\frac{1}{x^4} \cdot 2x = -\frac{2}{x^3}\).

3. Дифференцирование \(2x\) по \(x\) даёт \(2\).

4. Дифференцирование константы \(2\) по \(x\) даёт \(0\).

Теперь объединим все эти результаты и найдём производную \(f(x)\):

\[f'(x) = 1 - \frac{2}{x^3} + 2 + 0 = 1 - \frac{2}{x^3} + 2 = -\frac{2}{x^3} + 3.\]

Таким образом, производная функции \(f(x) = x + \frac{1}{x^2} + 2x + 2\) равна \(-\frac{2}{x^3} + 3\).