Question

Решите уравнение (x+sqrt(x^2-4))^5(x-sqrt(x^2-4))^3=256.

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение, можно использовать метод подстановки.

Данное уравнение представляет собой произведение двух выражений, каждое из которых содержит сумму и разность одного и того же квадратного корня. Для удобства решения, введем новую переменную: пусть u = sqrt(x^2-4). Тогда, можно переписать уравнение следующим образом:

(x + u)^5 * (x - u)^3 = 256

Теперь раскроем скобки и получим:

(x + u)(x + u)(x + u)(x + u)(x + u)(x - u)(x - u)(x - u) = 256

(x^2 + 2ux + u^2)(x^2 + 2ux + u^2)(x^2 - 2ux + u^2) = 256

((x^2 + 2ux + u^2)^2)(x^2 - 2ux + u^2) = 256

Теперь заметим, что выражение (x^2 + 2ux + u^2)^2 является квадратом бинома. Применим формулу для квадрата бинома:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

В нашем случае, a = x^2, b = 2ux, и c = u^2. Поэтому:

((x^2 + 2ux + u^2)^2)(x^2 - 2ux + u^2) = (x^4 + 4u^2x^2 + 4u^2x^2 + 4u^4)(x^2 - 2ux + u^2)

= (x^4 + 8u^2x^2 + 4u^4)(x^2 - 2ux + u^2)

= x^6 - 2u^2x^5 + u^2x^4 + 8u^2x^4 - 16u^4x^3 + 4u^4x^2

= x^6 - 2u^2x^5 + 9u^2x^4 - 16u^4x^3 + 4u^4x^2

Теперь заменим u на sqrt(x^2-4):

x^6 - 2(x^2-4)x^5 + 9(x^2-4)x^4 - 16(x^2-4)^2x^3 + 4(x^2-4)^2x^2 = 256

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

x^6 - 2x^7 + 8x^5 - 36x^4 + 72x^3 - 64x^2 + 16x^4 - 64x^3 + 64x^2 = 256

Упростим:

-2x^7 + 8x^5 - 20x^4 + 8x^3 = 0

Теперь факторизуем уравнение и найдем корни:

x^3(-2x^4 + 8x^2 - 20x + 8) = 0

Факторизуем вторую скобку:

x^3(-2(x^4 - 4x^2 + 10x - 4)) = 0

x^3(-2(x^2 - 2x)^2 + 2(x^2 - 2x) - 4) = 0

Теперь выделим общий множитель и разделим на него оба множителя:

x^3(x^2 - 2x - 2)(-2x^2 + 4x - 2) = 0

Таким образом, уравнение имеет три корня: x = 0, x = 1 + sqrt(3), x = 1 - sqrt(3).