Question

Вычислите площадь фигуры,: y = 5x − x^2 и осью OX

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y₁ = 5x − x²

у₂ = 0

$S=\int\limits^{x_2}_{x_1} {(y_1-y_2)} \, dx$

найдем пределы  интегрирования

5x − x² = 0; x(5-x)=0

x₁ = 0; x₂ = 5

теперь посчитаем определенный интеграл

$\int\limits^5_0 {(5x-x^2)} \, dx =5 \int\limits^5_0 {(x)} \, dx -\int\limits^5_0 {(x^2)} \, dx=$

$=\frac{5x^2}{2} I_{0} ^5 - \frac{x^3}{3} I_{0} ^5 = \frac{125}{2} - \frac{125}{3} = \frac{125}{6}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции y = 5x - x^2 и осью OX, вам нужно найти точки пересечения графика с осью OX и затем найти определенный интеграл функции между этими точками. Площадь фигуры будет равна модулю этого определенного интеграла.

1. Найдем точки пересечения графика функции с осью OX, установив y = 0: 5x - x^2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Сначала факторизуем его:

x(5 - x) = 0

Здесь у нас два решения:

x = 0 5 - x = 0

5 - x = 0 => x = 5

Таким образом, точки пересечения с осью OX - это (0, 0) и (5, 0).

2. Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 5x - x^2 и осью OX, мы можем использовать определенный интеграл от x = 0 до x = 5. Формула для определенного интеграла выглядит следующим образом:

A = ∫[0, 5] (5x - x^2) dx

Рассчитаем этот определенный интеграл:

A = [5x^2/2 - (x^3/3)] |[0, 5]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

A = [(5*5^2/2 - (5^3/3)) - (5*0^2/2 - (0^3/3))]

A = [(125/2 - 125/3) - (0 - 0)]

A = [(375/6 - 250/6)]

A = 125/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 5x - x^2 и осью OX, равна 125/6 (приближенно 20.83).