Question

В урне находятся 3 шара белого цвета и 4 шара черного цвета. Шар наудачу извлекается и возвращается в урну три раза. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется: не менее двух белых шаров.

Answer 1

Пусть $A$ — событие, состоящее в том, что шар наудачу извлекается и возвращается в урну три раза.

Имеем $n=3$ одинаковых независимых события, в каждом из которых то самое событие $A$ совершается с некоторой вероятностью $P(A) = \dfrac{3}{7}$ и не совершается с одинаковой вероятностью $P(\overline{A})= 1 - P(A) = 1 - \dfrac{3}{7} = \dfrac{4}{7}$. Такую совокупность условий называют схемой Бернулли.

Вероятность того, что в схеме Бернулли событие $A$ совершится ровно $k$ раз, обозначают $P_{n}(k)$

Теорема Бернулли: в схеме Бернулли с параметрами $n, \ A, \ P(A)=p, \ P(\overline{A})=q$ справедливо равенство $P_{n}(k) = C^{k}_{n} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k}$. Это равенство называют формулой Бернулли.

Для $k = 2$ имеем:

$P_{3}(2) = C^{2}_{3} \cdot \left(\dfrac{3}{7} \right)^{2} \cdot \left(\dfrac{4}{7} \right)^{3-2} = \dfrac{3!}{(3-2)! \cdot 2!} \cdot \dfrac{9}{49} \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{108}{343}$

Поскольку в задаче стоит найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется не менее двух белых шаров, то рассмотрим вероятность выбора 3 белых шаров из 3 попыток.

Для $k = 3$ имеем:

$P_{3}(3) = C^{3}_{3} \cdot \left(\dfrac{3}{7} \right)^{3} \cdot \left(\dfrac{4}{7} \right)^{3-3} = \dfrac{27}{343}$

Имеем два несовместимых события, поэтому:

$P(A) = P_{2}(3) + P_{3}(3) = \dfrac{108}{343} + \dfrac{27}{343} = \dfrac{135}{343}$

Ответ: $\dfrac{135}{343}$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться методом комбинаторики и вероятности. Для нахождения вероятности того, что среди трех извлеченных шаров окажется не менее двух белых шаров, мы можем рассмотреть все возможные варианты и посчитать их вероятность.

Всего у нас 3 белых и 4 черных шара. Мы будем рассматривать три извлечения шаров с возвращением. Это означает, что на каждом извлечении вероятность вытащить белый или черный шар остается неизменной.

Чтобы найти вероятность того, что среди трех извлеченных шаров будет хотя бы два белых, мы можем разбить эту задачу на несколько случаев:

1. Три белых шара. 2. Два белых и один черный шар. 3. Один белый и два черных шара.

Для каждого из этих случаев найдем вероятность и затем сложим их, чтобы получить общую вероятность.

1. Вероятность того, что все три шара будут белыми: P(белый, белый, белый) = (3/7) * (3/7) * (3/7) = 27/343.

2. Вероятность того, что два шара белые и один черный: P(белый, белый, черный) = (3/7) * (3/7) * (4/7) = 36/343.

3. Вероятность того, что один шар белый и два черных: P(белый, черный, черный) = (3/7) * (4/7) * (4/7) = 48/343.

Теперь сложим эти вероятности, чтобы получить общую вероятность того, что среди трех извлеченных шаров будет не менее двух белых: P(не менее двух белых) = P(белый, белый, белый) + P(белый, белый, черный) + P(белый, черный, черный) P(не менее двух белых) = (27/343) + (36/343) + (48/343) = 111/343.

Итак, вероятность того, что среди трех извлеченных шаров окажется не менее двух белых, равна 111/343.