Question

Функция φ(x,y) имеет вид φ=λsinx+2y (λ = const). не могли бы дать решение хотя бы на один из вопросова) Найти компоненты вектора gradφ.б) Найти проекцию вектора gradφ на направление, задаваемого вектором n с компонентами {−3/5,0,−4/5}.в) Вычислить div(gradφ).г) Вычислить оператор Лапласа от φ.

Answer 1

$></p> <p>или</p> <p><img src=$

$\Pi p_{\vec{n}}\overrightarrow{grad }\varphi=\frac{(\overrightarrow{grad }\varphi, \vec{n})}{|\vec{n}|} \\ \\ (\overrightarrow{grad }\varphi, \vec{n})=\left((\lambda cosx; 2; 0),(-\frac{3}{5} ; 0; -\frac{4}{5} )\right)=-\frac{3\lambda cosx}{5} +2*0+0*\left( -\frac{4}{5} \right)=\\ \\ =-\frac{3\lambda cosx}{5} \\ \\|\vec{n}|=\sqrt{\left( -\frac{3}{5} \right)^2+0^2+\left( -\frac{4}{5} \right)^2}=\sqrt{\frac{9}{25} +\frac{16}{25} } =1 \\ \\ \Pi p_{\vec{n}}\overrightarrow{grad }\varphi=-\frac{3\lambda cosx}{5}$

$3) \ div(\overrightarrow{grad}\varphi)=(\varphi'_x)'_x+ (\varphi'_y)'_y+ (\varphi'_z)'_z=\varphi''_{xx}+ \varphi''_{yy}+\varphi''_{zz}=\\ \\ =-\lambda sinx+ 0+0= -\lambda sinx$

$\Delta(\varphi)=\varphi''_{xx}+ \varphi''_{yy}+\varphi''_{zz}=-\lambda sinx+ 0+0= -\lambda sinx$

Answer 2

Решение:

Для начала найдем компоненты вектора gradφ. Вектор gradφ представляет собой вектор частных производных функции φ(x, y) по переменным x и y.

Пусть φ = λsin(x) + 2y, где λ - константа.

а) Найдем первую компоненту вектора gradφ по переменной x:

∂φ/∂x = ∂(λsin(x) + 2y)/∂x = λcos(x)

б) Найдем вторую компоненту вектора gradφ по переменной y:

∂φ/∂y = ∂(λsin(x) + 2y)/∂y = 2

Таким образом, компоненты вектора gradφ равны:

gradφ = (λcos(x), 2)

---

Второй вопрос: Найдем проекцию вектора gradφ на направление, задаваемое вектором n с компонентами {−3/5, 0, −4/5}.

Проекция вектора A на направление вектора B вычисляется по формуле:

proj_B(A) = (A · B̂) * B̂

где B̂ - единичный вектор, задающий направление вектора B, · - скалярное произведение векторов.

В нашем случае, A = gradφ, B = n.

а) Единичный вектор B̂:

B̂ = n / ||n||

где ||n|| - длина вектора n.

||n|| = sqrt((-3/5)^2 + 0^2 + (-4/5)^2) = sqrt(9/25 + 0 + 16/25) = sqrt(25/25) = 1

B̂ = (-3/5, 0, -4/5)

б) Вычислим скалярное произведение A · B̂:

A · B̂ = (λcos(x), 2) · (-3/5, 0, -4/5) = λcos(x) * (-3/5) + 2 * 0 + (-4/5) = -3λcos(x)/5 - 4/5

в) Найдем проекцию вектора gradφ на направление, задаваемое вектором n:

proj_n(gradφ) = (A · B̂) * B̂ = (-3λcos(x)/5 - 4/5) * (-3/5, 0, -4/5)

---

Третий вопрос: Вычислим div(gradφ).

Дивергенция вектора A = (A_1, A_2, A_3) вычисляется по формуле:

div(A) = ∂A_1/∂x + ∂A_2/∂y + ∂A_3/∂z

В нашем случае, A = gradφ = (λcos(x), 2).

a) Найдем ∂A_1/∂x:

∂A_1/∂x = ∂(λcos(x))/∂x = -λsin(x)

b) Найдем ∂A_2/∂y:

∂A_2/∂y = ∂2/∂y = 0

Так как у нас нет переменной z, ∂A_3/∂z = 0.

Теперь можем вычислить div(gradφ):

div(gradφ) = ∂A_1/∂x + ∂A_2/∂y + ∂A_3/∂z = -λsin(x) + 0 + 0 = -λsin(x)

---

Четвертый вопрос: Вычислим оператор Лапласа от функции φ.

Оператор Лапласа от функции φ = λsin(x) + 2y вычисляется по формуле:

Δφ = ∂^2φ/∂x^2 + ∂^2φ/∂y^2

a) Найдем ∂^2φ/∂x^2:

∂^2φ/∂x^2 = ∂^2(λsin(x) + 2y)/∂x^2 = -λsin(x)

b) Найдем ∂^2φ/∂y^2:

∂^2φ/∂y^2 = ∂^2(λsin(x) + 2y)/∂y^2 = 0

Теперь можем вычислить оператор Лапласа от функции φ:

Δφ = ∂^2φ/∂x^2 + ∂^2φ/∂y^2 = -λsin(x) + 0 = -λsin(x)

---

Таким образом, ответы на вопросы:

а) Компоненты вектора gradφ: gradφ = (λcos(x), 2)

б) Проекция вектора gradφ на направление, задаваемое вектором n: proj_n(gradφ) = (-3λcos(x)/5 - 4/5) * (-3/5, 0, -4/5)

в) div(gradφ) = -λsin(x)

г) Оператор Лапласа от функции φ: Δφ = -λsin(x)