Question

Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба, асимптоты и построить график функции y = f(x), если: 1/3 x^3 - x^2 - 3x + 1/3

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:Сначала нужно найти производную функции, потом приравнять производную к нулю и найти её корни, они будут экстреммумами данной функции. Потому нужно подставить числа из промежутков в производную и определисть её знак, Исходя из этого можно сделать вывод о поведении функции. После этого для построения графика, подставляем экстреммумы в данную в самом начале функцию и ищем Y-ки. После этого можем построить график.

Answer 2

Для исследования функции на экстремум, поиск точек перегиба, асимптот и построения графика функции, сначала давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем производные функции. 2. Найдем точки экстремума (минимума и максимума), если они существуют. 3. Найдем точки перегиба, если они существуют. 4. Определим асимптоты. 5. Построим график функции.

Давайте начнем с первого шага.

Шаг 1: Найдем производные функции. Исходная функция: y = 1/3*x^3 - x^2 - 3x + 1/3

Производная первого порядка: y' = d/dx (1/3*x^3 - x^2 - 3x + 1/3) y' = x^2 - 2x - 3

Производная второго порядка: y'' = d/dx (x^2 - 2x - 3) y'' = 2x - 2

Шаг 2: Найдем точки экстремума. Для нахождения точек экстремума, нужно найти значения x, при которых производная y' равна нулю.

2x - 2 = 0 2x = 2 x = 1

Теперь найдем значение y в точке экстремума:

y(1) = 1/3*1^3 - 1^2 - 3*1 + 1/3 y(1) = 1/3 - 1 - 3 + 1/3 y(1) = -8/3

Таким образом, у нас есть точка экстремума (1, -8/3).

Шаг 3: Найдем точки перегиба. Для нахождения точек перегиба, нужно найти значения x, при которых вторая производная y'' равна нулю.

2x - 2 = 0 2x = 2 x = 1

Таким образом, у нас есть точка перегиба (1, ...).

Шаг 4: Определим асимптоты. Асимптоты могут быть горизонтальными, вертикальными или наклонными. Давайте рассмотрим их по порядку.

а) Горизонтальные асимптоты: Горизонтальная асимптота находится на бесконечности, если предел функции при x -> ±∞ равен константе.

lim (x -> +∞) (1/3*x^3 - x^2 - 3x + 1/3) = +∞ lim (x -> -∞) (1/3*x^3 - x^2 - 3x + 1/3) = -∞

Таким образом, нет горизонтальных асимптот.

б) Вертикальные асимптоты: Вертикальная асимптота может существовать, если знаменатель дроби в функции стремится к нулю при определенных значениях x. В данном случае у нас есть только константа 1/3 в числителе, и она не зависит от x, поэтому нет вертикальных асимптот.

в) Наклонные асимптоты: Для нахождения наклонных асимптот нужно рассмотреть пределы вида:

lim (x -> ±∞) (f(x) - (mx + b)) = 0

В данном случае, также нет наклонных асимптот.

Шаг 5: Построим график функции. Теперь мы можем построить график функции y = 1/3*x^3 - x^2 - 3x + 1/3, используя полученную информацию. График будет проходить через точку экстремума (1, -8/3), но так как у нас нет асимптот, горизонтальных или вертикальных, и точки перегиба, график будет выглядеть примерно следующим образом:

 ^
 |                         +
 |                        +
 |                      +
 |                    +    
 |                +    
 |            +     
 |         +     
 |    +     
 +--------------------------->

Пожалуйста, обратите внимание, что это всего лишь приближенное изображение графика, и точное изображение может зависеть от масштаба осей. График будет выглядеть как парабола, проходящая через точку экстремума и убывающая в бесконечность при x -> ±∞.