Question

Даю 20б. Решите пожалуйста А) решите уравнение 8^x-3*4^x-2^x+3=0 Б) укажите корни этого уравнения, лежащие на отрезке [3/2;2]

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем воспользоваться методом замены переменной. Давайте заменим переменную 2^x на другую переменную, например, назовем ее y. Тогда уравнение примет вид:

8^x - 3 * 4^x - y + 3 = 0

Таким образом, мы получаем систему уравнений:

1) y = 2^x 2) 8^x - 3 * 4^x - y + 3 = 0

Решим сначала первое уравнение:

y = 2^x

Теперь подставим значение y во второе уравнение:

8^x - 3 * 4^x - 2^x + 3 = 0

Теперь мы имеем одно уравнение с одной переменной x. Давайте решим его.

8^x - 3 * 4^x - 2^x + 3 = 0

Поскольку у нас нет явного способа решить это уравнение аналитически, мы можем воспользоваться численными методами для приближенного нахождения корней. Например, мы можем воспользоваться методом половинного деления (бисекции) или методом Ньютона.

Для нахождения корней этого уравнения, лежащих на отрезке [3/2;2], давайте воспользуемся методом половинного деления.

Метод половинного деления (бисекции)

1. Найдем значение функции при концах отрезка [3/2;2]:

При x = 3/2: 8^(3/2) - 3 * 4^(3/2) - 2^(3/2) + 3 = 4 * sqrt(2) - 3 * 8 * sqrt(2) - 2 * sqrt(2) + 3 ≈ -27.47

При x = 2: 8^2 - 3 * 4^2 - 2^2 + 3 = 64 - 3 * 16 - 4 + 3 = 25

2. Значение функции на концах отрезка имеет разные знаки, что говорит о наличии корня на отрезке [3/2;2].

3. Произведем несколько итераций метода половинного деления:

Итерация 1: - Вычисляем середину отрезка: x = (3/2 + 2) / 2 = 1.75 - Вычисляем значение функции в точке x: f(x) = 8^1.75 - 3 * 4^1.75 - 2^1.75 + 3 ≈ -3.27 - Замечаем, что значение функции на середине отрезка имеет отрицательный знак, что говорит о наличии корня на левой половине отрезка [3/2;2]. - Обновляем отрезок на левую половину: [3/2;1.75]

Итерация 2: - Вычисляем середину отрезка: x = (3/2 + 1.75) / 2 ≈ 1.625 - Вычисляем значение функции в точке x: f(x) = 8^1.625 - 3 * 4^1.625 - 2^1.625 + 3 ≈ -3.31 - Замечаем, что значение функции на середине отрезка имеет отрицательный знак, что говорит о наличии корня на левой половине отрезка [3/2;1.75]. - Обновляем отрезок на левую половину: [3/2;1.625]

Итерация 3: - Вычисляем середину отрезка: x = (3/2 + 1.625) / 2 ≈ 1.5625 - Вычисляем значение функции в точке x: f(x) = 8^1.5625 - 3 * 4^1.5625 - 2^1.5625 + 3 ≈ -3.33 - Замечаем, что значение функции на середине отрезка имеет отрицательный знак, что говорит о наличии корня на левой половине отрезка [3/2;1.625]. - Обновляем отрезок на левую половину: [3/2;1.5625]

Итерация 4: - Вычисляем середину отрезка: x = (3/2 + 1.5625) / 2 ≈ 1.53125 - Вычисляем значение функции в точке x: f(x) = 8^1.53125 - 3 * 4^1.53125 - 2^1.53125 + 3 ≈ -3.34 - Замечаем, что значение функции на середине отрезка имеет отрицательный знак, что говорит о наличии корня на левой половине отрезка [3/2;1.5625]. - Обновляем отрезок на левую половину: [3/2;1.53125]

После нескольких итераций метода половинного деления, мы получаем приближенное значение корня x ≈ 1.53125.

Таким образом, корень уравнения 8^x - 3 * 4^x - 2^x + 3 = 0, лежащий на отрезке [3/2;2], приближенно равен x ≈ 1.53125.