Question

Помогите, пожалуйста! Очень нужно. Найдите площадь фигуры?ограниченной линиями y=-x^2+x+6, y=0

Answer 1

-x^2+x+6=0

x^2-x-6=0

D=1+24=25

x1=(1+5)/2*1=6/2=3

x2=(1-5)/2*1=-4/2=-2

(-2;3) ∫(x^2-x-6)dx = x^3/3 - x^2/2-6x | (-2;3) =

=3^3/3-3^2/2-6*3 - ( (-2)^3/3-(-2)^2/2-6*(-2) ) =

=9-9/2-18 +8/3+2-18= -25 - 9/2+8/3 = -25 - (27-16)/6 = -25 -11/6=-25-1 5/6=

=-26 5/6=26 5/6 - т.к. площадь не может быть отрицательной

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + x + 6 и y = 0, мы можем использовать метод интегрирования. Первым шагом будет найти точки пересечения этих двух кривых.

Для этого приравняем уравнения к нулю и решим их относительно x:

- x^2 + x + 6 = 0 - x^2 - x - 6 = 0

Мы можем факторизовать второе уравнение:

- (x - 3)(x + 2) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 3 и x = -2.

Теперь мы можем найти площадь фигуры, используя определенный интеграл. Поскольку фигура ограничена линией y = 0 сверху и кривой y = -x^2 + x + 6 снизу на интервале от x = -2 до x = 3, мы можем записать площадь как:

S = ∫[от -2 до 3] (-x^2 + x + 6) dx

Вычислим этот интеграл:

S = [(-1/3)x^3 + (1/2)x^2 + 6x] от -2 до 3

S = [(-1/3)(3)^3 + (1/2)(3)^2 + 6(3)] - [(-1/3)(-2)^3 + (1/2)(-2)^2 + 6(-2)]

S = [-27/3 + 9/2 + 18] - [(-8/3) + 2 + (-12)]

S = [-9 + 9/2 + 18] - [-8/3 + 2 - 12]

S = [-9 + 9/2 + 18] - [-8/3 + #### Расчет площади фигуры

Для расчета площади фигуры, ограниченной двумя кривыми линиями, в данном случае y = -x^2 + x + 6 и y = 0, мы можем использовать метод интегрирования.

Первым шагом нам нужно найти точки пересечения двух кривых, чтобы определить пределы интегрирования. Для этого приравняем уравнения к нулю и решим их относительно x:

1) y = -x^2 + x + 6 2) y = 0

Подставим уравнение (2) в уравнение (1):

0 = -x^2 + x + 6

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти корни:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

В данном случае: a = -1 b = 1 c = 6

D = (1)^2 - 4(-1)(6) = 1 + 24 = 25

Дискриминант равен 25, что означает, что у нас есть два действительных корня.

Теперь найдем значения x, подставив значения корней в уравнение (1):

1) Пусть D = 25: x1 = (-b + √D) / (2a) = (-1 + √25) / (2(-1)) = (-1 + 5) / (-2) = 4 / -2 = -2

x2 = (-b - √D) / (2a) = (-1 - √25) / (2(-1)) = (-1 - 5) / (-2) = -6 / -2 = 3

Таким образом, точки пересечения двух кривых -2 и 3.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, мы можем использовать интеграл. Поскольку мы имеем дело с кривыми, проходящими через ось x, мы будем интегрировать по переменной x.

Площадь фигуры может быть найдена следующим образом:

S = ∫[a, b] f(x) dx

где a и b - пределы интегрирования, f(x) - функция, определяющая верхнюю границу фигуры, в данном случае f(x) = -x^2 + x + 6.

Теперь, интегрируя f(x) на отрезке [-2, 3], мы найдем площадь фигуры:

S = ∫[-2, 3] (-x^2 + x + 6) dx

Вычисляя этот интеграл, получаем:

S = [(-1/3)x^3 + (1/2)x^2 + 6x]_[-2, 3] = [(-1/3)(3)^3 + (1/2)(3)^2 + 6(3)] - [(-1/3)(-2)^3 + (1/2)(-2)^2 + 6(-2)] = [-9 + 9 + 18] - [(-8/3) + 2 - 12] = 18 - (8/3 - 2 - 12) = 18 - (8/3 - 6 - 36/3) = 18 - (8/3 - 54/3 - 36/3) = 18 - (-98/3) = 18 + 98/3 = (54 + 98)/3 = 152/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + x + 6 и y = 0, равна 152/3 или пр