Question

Розвяжіть рівняння cos2x - 3cosx = 0.

Answer 1

Соs2х=2сos^2(x)-1
cosx=t
2t^2-3t-1=0
D=9+8=17
t1=(3+√17)/4
t2=(3-√17)/4
t1>1=> x неіснуючий
t2:cosx=(3-√17)/4=>x=+-arccos((3-√17)/4)+2πk,kєZ

Answer 2

Давайте розв'яжемо рівняння cos(2x) - 3cos(x) = 0.

Спершу, скористаємось тригонометричними тотожностями для спрощення рівняння.

Ми знаємо, що cos(2x) = 2cos^2(x) - 1. Також маємо тотожність, яка виразить cos(2x) через cos(x):

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1.

Тепер замінимо цю виразу в наше рівняння:

2cos^2(x) - 1 - 3cos(x) = 0.

Тепер ми маємо квадратне рівняння відносно cos(x):

2cos^2(x) - 3cos(x) - 1 = 0.

Давайте позначимо cos(x) як змінну, наприклад, t. Тоді ми отримаємо таке квадратне рівняння відносно t:

2t^2 - 3t - 1 = 0.

Для розв'язання цього квадратного рівняння ми можемо скористатися квадратною формулою:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

де a = 2, b = -3, і c = -1. Підставимо ці значення:

t = (3 ± √((-3)^2 - 4 * 2 * (-1))) / (2 * 2).

Тепер обчислимо значення під квадратним коренем:

D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 2 * (-1) = 9 + 8 = 17.

Тепер підставимо D у формулу для t:

t = (3 ± √17) / 4.

Таким чином, ми маємо два значення для cos(x):

1. t = (3 + √17) / 4, 2. t = (3 - √17) / 4.

Тепер ми повинні знайти відповідні значення для x. Для цього скористаємось інверсією косинуса. Косинус - це функція, яка приймає значення від -1 до 1, тому ми повинні переконатися, що наші значення t знаходяться в цьому діапазоні.

Перше значення t:

t1 = (3 + √17) / 4.

Перевіримо, чи воно належить діапазону [-1, 1]. Виходячи з рівнянь:

-1 ≤ cos(x) ≤ 1,

ми можемо визначити, що:

-1 ≤ (3 + √17) / 4 ≤ 1.

Ми бачимо, що ліва і права частини нерівності вже належать діапазону [-1, 1], тому t1 дійсне значення для cos(x).

Тепер знайдемо відповідне значення x за допомогою інверсії косинуса:

x1 = cos^(-1)(t1).

Аналогічно розглянемо друге значення t:

t2 = (3 - √17) / 4.

Перевіримо, чи воно належить діапазону [-1, 1]:

-1 ≤ (3 - √17) / 4 ≤ 1.

Як і в попередньому випадку, ліва і права частини нерівності належать діапазону [-1, 1], тому t2 є дійсним значенням для cos(x).

Знайдемо відповідне значення x:

x2 = cos^(-1)(t2).

Отже, ми знайшли два дійсних значення x:

1. x1 = cos^(-1)((3 + √17) / 4), 2. x2 = cos^(-1)((3 - √17) / 4).

Ці значення x є розв'язками рівняння cos(2x) - 3cos(x) = 0.