Question

Найти интервал монотонности и исследовать на выпуклость график функции f(x)=x^3/3-x^2+1

Answer 1

Пошаговое объяснение:

это правильно:ответ..

Answer 2

Для того, чтобы найти интервалы монотонности и исследовать на выпуклость график функции $f(x)=\\frac{x^3}{3}-x^2+1$, нужно выполнить следующие шаги:

- Найти первую производную функции: $f'(x)=x^2-2x$ - Найти точки, в которых первая производная равна нулю или не существует, решив уравнение $f'(x)=0$: $x^2-2x=0 \\Rightarrow x=0$ или $x=2$ - Исследовать знак первой производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах возрастания и убывания функции. Для этого можно построить таблицу знаков:

| x | (-\\infty; 0) | 0 | (0; 2) | 2 | (2; +\\infty) | |---|---------------|---|---------|---|---------------| | f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | | f(x) | \\searrow | 1 | \\nearrow | \\frac{5}{3} | \\searrow |

Из таблицы видно, что функция возрастает на интервале $(0; 2)$ и убывает на интервалах $(-\\infty; 0)$ и $(2; +\\infty)$. Точки $x=0$ и $x=2$ являются экстремумами функции: в точке $x=0$ функция имеет минимум, равный $1$, а в точке $x=2$ функция имеет максимум, равный $\frac{5}{3}$.

- Найти вторую производную функции: $f''(x)=2x-2$ - Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, решив уравнение $f''(x)=0$: $2x-2=0 \\Rightarrow x=1$ - Исследовать знак второй производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и вогнутости функции. Для этого можно построить таблицу знаков:

| x | (-\\infty; 1) | 1 | (1; +\\infty) | |---|---------------|---|---------------| | f''(x) | - | 0 | + | | f(x) | \\cap | -\\frac{1}{3} | \\cup |

Из таблицы видно, что функция выпукла на интервале $(1; +\\infty)$ и вогнута на интервале $(-\\infty; 1)$. Точка $x=1$ является точкой перегиба функции, в которой значение функции равно $-\frac{1}{3}$.

График функции можно посмотреть на одном из сайтов, найденных моим инструментом поиска по сети. Например, [здесь](https://ru.symbolab.com/solver/function-monotone-intervals-calculator).