Question

Решите линейное дифференциальное уравнение первого порядка методом Бернулли у'+у = (х+5)/2

Answer 1

$y'+y= \frac{x+5}{2} \\ y=uv \\ y'=u'v+uv' \\ u'v+uv'+uv=\frac{x+5}{2} \\ v(u'+u)+uv'=\frac{x+5}{2} \\ \left \{ {{u'+u=0....(1)} \atop {uv'=\frac{x+5}{2}....(2)}} \right. \\ (1): u'=-u \\ \frac{du}{dx} = -u \\ \frac{du}{u} = -dx \\ lnu=-x \\ u=e^{-x} \\ (2):e^{-x} v'=\frac{x+5}{2} \\ v=\int\frac{(x+5)dx}{2e^{x}} = \frac{1}{2} \int\frac{(x+5)dx}{e^{x}} = \frac{1}{2} (-xe^{-x}-6e^{-x} ) \\ y=\frac{1}{2} (-xe^{-x}-6e^{-x} )e^{-x}$

Answer 2

Для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли, нужно выполнить следующие шаги:

1. Привести уравнение к виду , где и - некоторые функции от . 2. Разделить обе части уравнения на , получить . 3. Сделать замену , где - произвольная константа. Тогда и . 4. Подставить в уравнение и получить линейное уравнение относительно : . 5. Решить это уравнение методом интегрирующего множителя или методом вариации постоянной. 6. Выразить из полученного решения и подставить вместо .

В данном случае, уравнение имеет вид . Следовательно, и . Делим на и получаем . Делаем замену , тогда и . Подставляем в уравнение и получаем . Это линейное уравнение относительно , которое можно решить методом интегрирующего множителя. Находим интегрирующий множитель: . Умножаем обе части уравнения на и интегрируем: . Отсюда . Выражаем из этого решения: . Подставляем вместо и получаем окончательный ответ: .