Question

Меня всегда интересовало как вообще могут быть у углов больше 89 градусов синус, косинус, тангенс и котангенс, ведь с ними нельзя построить прямоугольный треугольник, соответственно и этих функций у них быть не должно?

Answer 1

Ответ:

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин :-)

Развёрнутый, прямой, острый и тупой углы

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается a.

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой \alpha.

Гипотенуза и катеты

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет a, лежащий напротив угла \alpha, называется противолежащим (по отношению к углу \alpha). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла \alpha, называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

\sin A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

\cos A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle b}{\displaystyle c}

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg \, A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b}

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg \, A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sin A}{\displaystyle \cos A}

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg \, A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \cos A}{\displaystyle \sin A}

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Синус, косинус, тангенс и котангенс

Давайте докажем некоторые из них.

Answer 2

Углы больше 89 градусов являются острыми, то есть они меньше 90 градусов. Поэтому синус, косинус, тангенс и котангенс таких углов существуют и имеют конечные значения.

Синус угла определяется отношением противоположной стороны к гипотенузе прямоугольного треугольника. В случае острого угла, противоположная сторона всегда меньше гипотенузы, поэтому синус острого угла всегда будет меньше 1.

Косинус угла определяется отношением прилежащей стороны к гипотенузе прямоугольного треугольника. В случае острого угла, прилежащая сторона всегда меньше гипотенузы, поэтому косинус острого угла также всегда будет меньше 1.

Тангенс угла определяется отношением противоположной стороны к прилежащей стороне прямоугольного треугольника. В случае острого угла, противоположная сторона всегда меньше прилежащей стороны, поэтому тангенс острого угла всегда будет меньше 1.

Котангенс угла определяется отношением прилежащей стороны к противоположной стороне прямоугольного треугольника. В случае острого угла, прилежащая сторона всегда меньше противоположной стороны, поэтому котангенс острого угла также всегда будет меньше 1.

Таким образом, синус, косинус, тангенс и котангенс острых углов могут быть определены и имеют значения меньше 1. Эти функции не ограничены только на построение прямоугольного треугольника и могут быть использованы для решения различных задач в геометрии и математике.