Question

Деревянный куб поставили на стол, облили краской сверху (на нижнюю грань краска не затекла) и распилили на одинаковые маленькие кубики. При этом получилось 32 кубика, имеющих хотя бы две окрашенные грани. Сколько кубиков не имеют окрашенных граней?

Answer 1

Хотя бы две = кубики с 2,3 закрашенными гранями.

Кубиков с тремя гранями = 4 (верхние углы куба)

Кубики с двумя гранями (нижние углы куба) = 4

Остальные - кубики с двумя гранями - ребра = 32-4-4=24

По факту у нас получается 8 ребер - 4 ребра верхней грани куба, 4 ребра боковых.

24:8=3 кубика в ребре.

Получаем что у нас куб размерами 5х5х5 = всего 125 куб, облит краской.

Покрашенных кубиков: с 2 и 3 гранями - всего 32

С 1 гранью: 3*3+4*4*3 = 57

Остальные - без окрашенных граней: 125 - 32 - 57 = 36

Проверка: если убрать все окрашенные кубики, то останется параллепипед размерами 3х3х4 = 36

Answer 2

Давайте представим, что исходный куб имел ребро длины a. Тогда его объем равен a^3, а поверхность составляет 6a^2. Мы рассматриваем случай, когда у каждого получившегося кубика есть хотя бы две окрашенные грани. Предположим, что у кубика есть n окрашенных граней. В таком случае, количество кубиков с n окрашенными гранями можно записать как (nC2) * (6 - nC2), что соответствует выбору двух граней из n и выбору двух граней из оставшихся (6 - n). Из условия задачи, сумма всех кубиков с двумя или больше окрашенными гранями равна 32. То есть, (nC2) * (6 - nC2) = 32. Мы хотим найти количество кубиков, у которых нет окрашенных граней. Это означает, что n = 0. Если подставить это значение в уравнение выше, мы получим: (0C2) * (6 - 0C2) = 32, 0 * 6 = 32. Это ложное уравнение, значит, n не может быть равно 0. Таким образом, нет кубиков без окрашенных граней.