Question

Деревянный куб облили краской сверху (на нижнюю грань краска не затекла)) и распилили на одинаковые маленькие кубики. При этом получилось 32 кубика, имеющих хотя бы две окрашенные грани. Сколько кубиков не имеют окрашенных граней

Answer 1

Ответ:

93

Пошаговое объяснение:

на рисунке показаны кубики которые имеют 2 и более закрашенных граней.

это все кубики находящиеся на ребрах куба кроме тех которые имеют только ребро основания

всего 32

Объем куба 5·5·5=125 кубиков

125-32=93 кубика

Answer 2

Предположим, что изначально у нас был один большой куб со стороной "n" (пусть это будет сторона исходного куба). Мы знаем, что он был обливаем сверху краской так, что краска не затекла на нижнюю грань.

Затем этот большой куб был разрезан на маленькие кубики. Всего маленьких кубиков получится n^3, так как объем большого куба равен n^3, и мы его разделили на маленькие кубики.

Нас интересует количество кубиков, имеющих хотя бы две окрашенные грани. Посмотрим на кубик. Каждый кубик имеет 6 граней. Если у него нет окрашенных граней, то он остается полностью деревянным и не учитывается в нашем вопросе. Если у него только одна окрашенная грань, то он также не учитывается, так как нам нужны кубики с хотя бы двумя окрашенными гранями. Остается две возможности: либо у кубика 2 окрашенные грани, либо у него 3 окрашенные грани (то есть он окрашен полностью).

Поскольку наш большой куб был обливаем сверху и при этом краска не затекла на нижнюю грань, это означает, что верхняя грань каждого маленького кубика окрашена, а нижняя грань нет.

Таким образом, количество кубиков с 2 окрашенными гранями равно количеству граней на боковых сторонах большого куба, то есть 4 * (n - 2)^2, так как на каждой из четырех боковых сторон у нас есть (n - 2)^2 кубика с двумя окрашенными гранями.

Количество кубиков с 3 окрашенными гранями равно количеству граней на верхней поверхности большого куба, то есть n^2.

Итак, общее количество маленьких кубиков с хотя бы двумя окрашенными гранями равно: 4 * (n - 2)^2 + n^2.

По условию у нас есть 32 таких кубика: 4 * (n - 2)^2 + n^2 = 32.

Теперь мы можем перебрать различные значения "n" и найти решения для уравнения. Попробуем n = 3: 4 * (3 - 2)^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13.

n = 4: 4 * (4 - 2)^2 + 4^2 = 4 * 4 + 16 = 32.

Таким образом, при n = 4 у нас есть 32 маленьких кубика с хотя бы двумя окрашенными гранями.

Изначально был один большой куб со стороной 4. Мы его разрезали на маленькие кубики. Общее количество маленьких кубиков было 4^3 = 64. Таким образом, количество кубиков, не имеющих окрашенных граней (полностью деревянных), равно: 64 - 32 = 32 кубика.