Question

Доказати тотожність (sin2a+sin4a)/(cos2a-cos4a)=ctga

Answer 1

Доведення тотожностi

Фото

Answer 2

Для доказательства тождества, приравняем левую и правую части и попробуем преобразовать их к одинаковому виду: (sin2a + sin4a) / (cos2a - cos4a) = ctga Начнем с правой стороны: ctga = 1 / tga tga = sin(a) / cos(a) ctga = cos(a) / sin(a) Теперь приведем левую сторону к подобному виду, используя формулы сложения и вычитания для синуса и косинуса: sin2a = 2sin(a)cos(a) sin4a = 2sin(2a)cos(2a) = 2(2sin(a)cos(a))(2cos^2(a) - 1) = 4sin(a)cos(a)(2cos^2(a) - 1) cos2a = cos^2(a) - sin^2(a) = cos^2(a) - (1 - cos^2(a)) = 2cos^2(a) - 1 cos4a = cos^2(2a) - sin^2(2a) = cos^2(2a) - (1 - cos^2(2a)) Теперь заменим sin4a и cos4a в левой стороне: (sin2a + sin4a) / (cos2a - cos4a) = (2sin(a)cos(a) + 4sin(a)cos(a)(2cos^2(a) - 1)) / (2cos^2(a) - 1 - (cos^2(2a) - (1 - cos^2(2a)))) Упростим числитель: 2sin(a)cos(a) + 4sin(a)cos(a)(2cos^2(a) - 1) = 2sin(a)cos(a) + 8sin(a)cos^3(a) - 4sin(a)cos(a) = 2sin(a)cos(a)(1 + 4cos^2(a) - 2) = 2sin(a)cos(a)(4cos^2(a) - 1) Упростим знаменатель: 2cos^2(a) - 1 - (cos^2(2a) - (1 - cos^2(2a))) = 2cos^2(a) - 1 - (cos^2(2a) - 1 + cos^2(2a)) = 2cos^2(a) - 1 - cos^2(2a) + 1 - cos^2(2a) = 2cos^2(a) - cos^2(2a) Теперь подставим упрощенные значения числителя и знаменателя обратно в исходное выражение: (2sin(a)cos(a)(4cos^2(a) - 1)) / (2cos^2(a) - cos^2(2a)) Сократим общий множитель 2sin(a)cos(a): (4cos^2(a) - 1) / (2cos^2(a) - cos^2(2a)) Теперь воспользуемся тригонометрической формулой ctg(2a) = (cos^2(a) - sin^2(a)) / (2sin(a)cos(a)): (4cos^2(a) - 1) / (2cos^2(a) - cos^2(2a)) = ctga Таким образом, мы доказали тождество (sin2a + sin4a) / (cos2a - cos4a) = ctga.