Question

Y=x^3-9x^2+15x-7 Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции

Answer 1

y' = 3х²-18x+15 = 3*(x²-6x+5)

x²-6x+5=0

D = 36-4*5 = 16

√D = 4

x1 = (6-4)/2 = 1

x2 = (6+4)/2 = 5

1 - точка максимума

5 - точка минимума

от -∞ до 1 ↑

от 1 до 5↓

от 5 до +∞ ↑

Answer 2

Для того чтобы найти интервалы монотонности и точки экстремума функции \(Y = x^3 - 9x^2 + 15x - 7\), мы должны выполнить следующие шаги: 1. Найдем производную функции \(Y\) по переменной \(x\). 2. Решим уравнение производной равное нулю, чтобы найти критические точки. 3. Построим таблицу знаков производной на интервалах между критическими точками. 4. Определим интервалы монотонности и точки экстремума на основе таблицы знаков производной. 1. Найдем производную функции \(Y\) по переменной \(x\): \[Y'(x) = 3x^2 - 18x + 15\] 2. Решим уравнение производной равное нулю, чтобы найти критические точки: \[3x^2 - 18x + 15 = 0\] Для решения этого квадратного уравнения мы можем поделить все коэффициенты на 3: \[x^2 - 6x + 5 = 0\] Затем факторизуем уравнение: \[(x - 5)(x - 1) = 0\] Таким образом, у нас есть две критические точки: \(x = 1\) и \(x = 5\). 3. Построим таблицу знаков производной \(Y'\) на интервалах между критическими точками и за пределами их: | Интервал | Знак \(Y'(x)\) | |----------|-----------------| | \((-\infty, 1)\) | | \((1, 5)\) | | \((5, +\infty)\) | | Теперь определим знак производной на каждом интервале: - Для \(x < 1\), используя произвольное значение \(x < 1\), например, \(x = 0\), мы видим, что \(Y'(0) = 15 > 0\). Значит, на интервале \((-\infty, 1)\) производная положительна, и функция возрастает. - Для \(1 < x < 5\), используя произвольное значение \(1 < x < 5\), например, \(x = 2\), мы видим, что \(Y'(2) = 3(2^2) - 18(2) + 15 = -15 < 0\). Значит, на интервале \((1, 5)\) производная отрицательна, и функция убывает. - Для \(x > 5\), используя произвольное значение \(x > 5\), например, \(x = 6\), мы видим, что \(Y'(6) = 3(6^2) - 18(6) + 15 = 63 > 0\). Значит, на интервале \((5, +\infty)\) производная положительна, и функция снова возрастает. 4. Теперь определим интервалы монотонности и точки экстремума: - Функция возрастает на интервале \((-\infty, 1)\). - Функция убывает на интервале \((1, 5)\). - Функция снова возрастает на интервале \((5, +\infty)\). Теперь найдем точки экстремума. Точки экстремума происходят в местах, где производная меняет знак. В данном случае, у нас есть точка \(x = 1\), где производная переходит из положительной в отрицательную, и точка \(x = 5\), где производная переходит из отрицательной в положительную. Таким образом, у нас есть локальный максимум в точке \(x = 1\) и локальный минимум в точке \(x = 5\). Можно также найти значения функции \(Y\) в этих точках, чтобы получить соответствующие значения экстремумов.