Question

5^sqrt3-2xdx помогите решить интеграл

Answer 1

$\displaystyle\int 5^{\displaystyle\sqrt{3-2x}}dx=-\int t*5^tdt=-\frac{t*5^t}{ln5}+\frac{1}{ln5}\int\ 5^tdt=\\=-\frac{t*5^t}{ln5}+\frac{5^t}{ln^25}+C=\frac{5^t}{ln^25}(1-ln5*t)+C=\\=\frac{5^\sqrt{3-2x}}{ln^25}(1-ln5*\sqrt{3-2x})+C\\3-2x=t^2;-2dx=2tdt;dx=-tdt\\\\u=t;du=dt\\dv=5^tdt;v=\frac{5^t}{ln5}$

Answer 2

Интеграл, который вы хотите решить, представляет собой интеграл от выражения \(5^{\sqrt{3} - 2x}\) по переменной \(x\). Давайте попробуем решить его. Интеграл: \[ \int 5^{\sqrt{3} - 2x} \, dx \] Чтобы решить этот интеграл, мы можем воспользоваться методом замены переменной. Для этого представим \(\sqrt{3} - 2x\) в виде новой переменной \(u\), и найдем производную от \(u\) по \(x\). Пусть: \[ u = \sqrt{3} - 2x \] Тогда: \[ \frac{du}{dx} = -2 \] Далее, мы выразим \(dx\) через \(du\): \[ dx = -\frac{1}{2} \, du \] Теперь мы можем переписать интеграл, используя новую переменную \(u\): \[ \int 5^u \left(-\frac{1}{2} \, du\right) \] Теперь интеграл стал более простым: \[ -\frac{1}{2} \int 5^u \, du \] Теперь, чтобы решить этот интеграл, воспользуемся степенным правилом интегрирования. Интеграл от \(5^u\) можно выразить как: \[ -\frac{1}{2} \cdot \frac{5^u}{\ln(5)} + C \] Где \(C\) - произвольная постоянная. Теперь, вернемся к исходной переменной \(x\). Заметим, что \(u = \sqrt{3} - 2x\), поэтому мы можем подставить это обратно: \[ -\frac{1}{2\ln(5)} \cdot 5^{\sqrt{3} - 2x} + C \] Таким образом, интеграл от \(5^{\sqrt{3} - 2x}\) равен: \[ -\frac{1}{2\ln(5)} \cdot 5^{\sqrt{3} - 2x} + C \] Где \(C\) - постоянная интеграции.