Question

определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: (1+x^2)y'-2xy=(1+x^2)^2

Answer 1

Тип: линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка

Поделим обе части уравнения на $(1+x^2)^2:$

$y'\cdot \dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{2xy}{(1+x^2)^2}=1$

$\Bigg(\dfrac{y}{x^2+1}\Bigg)'=1\\ \\ \dfrac{y}{x^2+1}=\displaystyle \int dx~~~\Rightarrow~~~ \dfrac{y}{x^2+1}=x+C_1~~~\Rightarrow~~~ \boxed{y=(x+C_1)(x^2+1)}$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение имеет вид (1+x^2)y' - 2xy = (1+x^2)^2. Чтобы определить тип этого дифференциального уравнения, мы должны рассмотреть коэффициент при y'. В данном случае коэффициент при y' равен (1+x^2), что не является функцией только от x. Поэтому это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Чтобы найти его общее решение, можно воспользоваться методом вариации постоянной или методом разделяющихся переменных. Используя метод разделяющихся переменных, приведем уравнение к виду, где все y-зависимые члены будут на одной стороне, а все x-зависимые члены - на другой: (1+x^2)y' - 2xy = (1+x^2)^2 Разделим обе части уравнения на (1+x^2)^2: y' - (2x/(1+x^2))y = 1 Теперь уравнение разделено на две части, содержащие только y-зависимые и x-зависимые члены соответственно. Для решения этого уравнения применим метод разделяющихся переменных. Разделим обе части на y: (1/y)dy - (2x/(1+x^2))dx = dx Интегрируем обе части уравнения: ∫(1/y)dy = ∫(1+x^2)dx Получаем: ln|y| = x + (1/3)x^3 + C1 где С1 - произвольная постоянная интегрирования. Возведем обе стороны уравнения в экспоненту: |y| = e^(x + (1/3)x^3 + C1) Возможны два случая: 1. Если y ≠ 0: y = ± e^(x + (1/3)x^3 + C1) 2. Если y = 0: В этом случае общим решением будет: y = 0 Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения это y = 0 или y = ± e^(x + (1/3)x^3 + C1), где C1 - произвольная постоянная.