Question

Sin3x=sinxcos2x, Решите уравнение пожалуйста, подробное решение!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

$\sin(3x) = \sin(x) \cos(2x) \\ \sin(2x + x) = \sin(x) \cos(2x) \\ \sin(2x ) \cos(x) + \cos(2x) \sin(x) = \sin(x) \cos(2x) \\ \sin(2x) \cos(x) + \sin(x) \cos(2x) - \sin(x) \cos(2x) = 0 \\ \sin(2x) \cos(x) = 0 \\ 2 \sin( x ) { \cos(x) }^{2} = 0 \\ 1) \: \sin(x) = 0 \\ x = \pi \: n \\ 2) \: { \cos( x) }^{2} = 0 \\ x = \frac{\pi}{2} n$

n принадлежит целым числам.

Answer 2

Дано уравнение sin(3x) = sin(x)cos(2x). Перепишем уравнение, используя тригонометрические тождества: sin(3x) = sin(x)(1 - 2sin^2(x)) Раскроем скобки: sin(3x) = sin(x) - 2sin^3(x) Перенесем все члены в одну сторону: sin(3x) - sin(x) + 2sin^3(x) = 0 Приведем подобные слагаемые: 2sin^3(x) - sin(3x) + sin(x) = 0 Факторизуем: sin(x)(2sin^2(x) - cos(3x) + 1) = 0 Так как sin(x) не может быть равным нулю (так как sin(0) = 0), то рассмотрим второй множитель: 2sin^2(x) - cos(3x) + 1 = 0 Поскольку это квадратное уравнение относительно sin(x), решим его с помощью дискриминанта: D = (-cos(3x))^2 - 4 * 2 * 1 = cos^2(3x) - 8 Если D > 0, то уравнение имеет два различных решения. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение. Если D < 0, то уравнение не имеет решений. Рассмотрим каждый случай: 1) D > 0: cos^2(3x) - 8 > 0 cos^2(3x) > 8 cos(3x) > √8 3x > arccos(√8) x > (1/3)arccos(√8) 2) D = 0: cos^2(3x) - 8 = 0 cos^2(3x) = 8 cos(3x) = ±√8 3x = arccos(±√8) x = (1/3)arccos(±√8) 3) D < 0: cos^2(3x) - 8 < 0 cos^2(3x) < 8 cos(3x) < √8 3x < arccos(√8) x < (1/3)arccos(√8) Таким образом, уравнение sin(3x) = sin(x)cos(2x) имеет решения для x > (1/3)arccos(√8) и x < (1/3)arccos(√8), а также для x = (1/3)arccos(±√8).