Question

Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции f(x)= -1/3 x³ -1/6 x на отрезке [-1; 1]

Answer 1

F(x)=(-1/3)•x³-(1/6)•x ;[-1;1]
f'(x)=-x²-1/6
f'(x)=0;-x²-1/6=0
-x²=1/6;x²=-1/6;x€∅;нет критические точки
f'(x)<0 функция убывает
-x²-1/6<0 ;x€(-бес ;+ бес )
f(-1)=1/3+1/6=3/6=1/2
f(1)=-1/3-1/6=-3/6=-1/2
f(-1)+f(1)=1/2+(-1/2)=0

Answer 2

$f(x)=-\frac{1}{3} x^3-\frac{1}{6} x$

$f'(x)=-\frac{1}{6} -x^2$

т.е. функция всегда убывает, наименьшее и наибольшие значения будут на концах. К тому же функция нечетная, ибо $f(-x)=-f(x)$. Тогда даже считать не надо, $f(-1)+f(1)=-f(1)+f(1)=0$

Answer 3

Для нахождения суммы наибольшего и наименьшего значений функции \(f(x) = -\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{6}x\) на отрезке \([-1, 1]\) следует выполнить несколько шагов: 1. Найдем производную функции \(f(x)\) и решим уравнение \(f'(x) = 0\) для поиска экстремумов внутри данного интервала: \[ f'(x) = -x^2 - \frac{1}{6} \] Уравнение \(f'(x) = 0\) примет вид: \[ -x^2 - \frac{1}{6} = 0 \] Решим это уравнение: \[ -x^2 = \frac{1}{6} \] Умножим обе стороны на -1: \[ x^2 = -\frac{1}{6} \] Извлечем корни: \[ x = \pm \sqrt{-\frac{1}{6}} \] Поскольку у нас интересует отрезок \([-1, 1]\), то мы учтем только те значения \(x\), которые попадают в этот интервал: \[ x = \pm \sqrt{\frac{1}{6}} \] Теперь нам нужно найти значения функции \(f(x)\) в точках \(-1\), \(1\) и \(\pm \sqrt{\frac{1}{6}}\), а затем сравнить их, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение. 2. Вычислим значения функции \(f(x)\) в указанных точках: - \(f(-1) = -\frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{1}{6}(-1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}\) - \(f(1) = -\frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{6}(1) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = -\frac{1}{2}\) - \(f\left(\sqrt{\frac{1}{6}}\right) = -\frac{1}{3}\left(\sqrt{\frac{1}{6}}\right)^3 - \frac{1}{6}\sqrt{\frac{1}{6}}\) Теперь найдем наибольшее и наименьшее из этих значений: Наибольшее значение: \(f(1) = -\frac{1}{2}\) Наименьшее значение: \(f\left(\sqrt{\frac{1}{6}}\right)\) Таким образом, наибольшее значение функции \(f(x)\) на интервале \([-1, 1]\) равно \(-\frac{1}{2}\), а наименьшее значение будет \(f\left(\sqrt{\frac{1}{6}}\right)\). Вычислите \(f\left(\sqrt{\frac{1}{6}}\right)\), чтобы получить точное значение наименьшего значения функции.