Question

При каких значениях параметра a неравенство ax^2-4x+3a+1>0 выполняется при всех значениях x>0? (Учитывал все условия. У меня вышло, что подходит только при Д>=0,x_в =0 и ещё случай когда параболо над Ox, но с ответом a>1 не сошлось. Помогите!)

Answer 1

Ответ:

a > 1

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим, как выглядит график левой части.

При a = 0 это прямая -4x+1. Уже при x = 1 левая часть отрицательна, значит, данное значение параметра не подходит.

При a < 0 это парабола, ветви которой направлены вниз, поэтому при x > 0 найдутся отрицательные значения левой части, что также не подходит.

При a > 0 это парабола, ветви которой направлены вверх. Заметим, что вершина параболы имеет абсциссу $x_0=\dfrac{2}{a}>0$. Значит, наименьшее значение параболы достигается в некотором x > 0. Если в этой точке значение левой части будет положительно, то и все остальные значения также будут положительны:

$a\cdot(\dfrac{2}{a})^2-4\cdot\dfrac{2}{a}+3a+1=\dfrac{3a^2+a-4}{a}=\dfrac{(3a+4)(a-1)}{a}>0$

Учитывая, что a > 0, множители 3a+4, a заведомо положительны, поэтому на знак влияет только a-1: если оно положительно, то и вся дробь положительна, и наоборот. a - 1 > 0, a > 1.

Answer 2

Давайте разберемся с этим неравенством по шагам. У вас есть неравенство: ax^2 - 4x + 3a + 1 > 0 И вы хотите найти значения параметра "a", при которых это неравенство выполняется при всех значениях x > 0. Для начала, давайте рассмотрим дискриминант квадратного уравнения ax^2 - 4x + 3a + 1 = 0. Дискриминант равен D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения. a = a b = -4 c = 3a + 1 D = (-4)^2 - 4 * a * (3a + 1) D = 16 - 4(3a^2 + a) D = 16 - 12a^2 - 4a Теперь мы хотим, чтобы дискриминант был строго положительным (D > 0), чтобы квадратное уравнение имело два различных корня. Это гарантирует, что парабола пересекает ось x и, следовательно, меняет знак над этой осью. 16 - 12a^2 - 4a > 0 Теперь давайте решим это неравенство. Для начала упростим его: 12a^2 + 4a - 16 < 0 3a^2 + a - 4 < 0 Теперь нам нужно найти значения "a", при которых это неравенство выполняется при всех значениях x > 0. Для этого нам нужно найти интервалы, на которых выражение 3a^2 + a - 4 < 0 верно. Можно воспользоваться методом знаков, чтобы найти интервалы: 1. Решим уравнение 3a^2 + a - 4 = 0: Для этого используем дискриминант D = b^2 - 4ac: D = 1^2 - 4 * 3 * (-4) = 1 + 48 = 49 Таким образом, у нас есть два корня: a1 = (-1 + √49) / (2 * 3) = (7/6) a2 = (-1 - √49) / (2 * 3) = (-2/3) 2. Теперь у нас есть три значения "a", которые разбивают пространство на четыре интервала: a < -2/3 -2/3 < a < 7/6 a > 7/6 3. Теперь выберем тестовую точку в каждом интервале: - Для интервала a < -2/3 возьмем a = -1. - Для интервала -2/3 < a < 7/6 возьмем a = 0. - Для интервала a > 7/6 возьмем a = 2. 4. Подставим тестовые точки в неравенство и определим знак выражения: - Для a = -1: 3(-1)^2 - 1 - 4 = 3 - 1 - 4 = -2, что отрицательно. - Для a = 0: 3(0)^2 + 0 - 4 = -4, что отрицательно. - Для a = 2: 3(2)^2 + 2 - 4 = 14, что положительно. Таким образом, неравенство ax^2 - 4x + 3a + 1 > 0 выполняется при всех значениях x > 0 только в интервале -2/3 < a < 7/6. В этом интервале парабола направлена вверх и не пересекает ось x, что гарантирует положительное значение выражения.