Question

Помогите найти частное решение дифференциального уравления методом разделения переменных (2+x)dy = (1+y)dx, если y(0)=5

Answer 1

$(2+x)\, dy=(1+y)\, dx\ \ ,\ \ y(0)=5\\\\\int \dfrac{dy}{y+1}=\int \dfrac{dx}{x+2}\\\\ln|y+1|=ln|x+2|+lnC\\\\y+1=C\, (x+2)\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \underline {y_{obshee}=C\, (x+2)-1}\ \ ,\\\\\underline {y_{obshee}=Cx+C^*}\ \ ,\ \ \ C^*=2C-1\\\\y(0)=5:\ \ \ 5=C\, (0+2)-1\ \ ,\ \ 6=2C\ \ ,\ \ C=3\\\\y_{chastn.}=3\, (x+2)-1\\\\\underline{\ y_{chastn.}=3x+5\ }$

Answer 2

Для нахождения частного решения дифференциального уравнения методом разделения переменных, мы начнем с разделения переменных и последующего интегрирования обеих сторон уравнения. Данное дифференциальное уравнение: (2 + x)dy = (1 + y)dx Разделим переменные, переместив все члены, содержащие y, на левую сторону и все члены, содержащие x, на правую сторону: dy / (1 + y) = dx / (2 + x) Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения. Интеграл левой стороны можно взять следующим образом: ∫ (1 + y)^(-1) dy Для этого интеграла мы можем воспользоваться заменой переменных, где z = 1 + y и dz = dy: ∫ z^(-1) dz Интеграл правой стороны: ∫ (2 + x) dx Теперь интегрируем обе стороны: ln|z| = 2x + C1 где C1 - произвольная постоянная интеграции. Затем можно воспользоваться свойством логарифма: |z| = e^(2x + C1) Затем учтем начальное условие y(0) = 5. Это означает, что при x = 0, y = 5: |1 + 5| = e^(2*0 + C1) |6| = e^C1 6 = e^C1 Теперь мы можем записать выражение для z: z = 6 или z = -6 Теперь вернемся к выражению для z = 1 + y: 1 + y = 6 или 1 + y = -6 Для первого случая: y = 6 - 1 y = 5 Для второго случая: y = -6 - 1 y = -7 Итак, у нас есть два частных решения данного дифференциального уравнения: 1. y(x) = 5 2. y(x) = -7 Это частные решения уравнения с учетом начального условия y(0) = 5.